[size=85][i][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books[/b][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][color=#ff7700][b] (Mai 2021)[/b][/color][/right][/size][/i][br]In einer Schar [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularer Quartiken[/b][/i][/color] mit [b]4[/b] verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [br]liegen genau [b]2[/b] Möbius-Transformierte [b]CASSINI[/b]-Kurven.[br]In der Schar 2-achsiger [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] Kegelschnitte liegt [b]eine[/b] [/size][size=85][b]CASSINI[/b]-[/size][size=85]Kurve; [br]es ist die einzige gleichseitige [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] der Kegelschnittschar.[br]Invertiert ist es eine [b]Bernoulli-Lemniskate[/b].[br][br][b]CASSINI[/b]-Kurven werden charakterisiert durch eine implizite Gleichung des Typs:[br][/size][list][*][size=85][math]\left|z-f_1\right|\cdot\left|z-f_2\right|=\mathbf{const}[/math], [math]z\in\mathbb{C}[/math] und [math]f_1,f_2\in\mathbb{C},f_1\ne f_2[/math].[/size][/*][/list][size=85]Diese Kurven sind das multiplikative Pendant der Kegelschnitte mit Gärtner-Konstruktion: [math]\left|z-f_1\right|+\left|z-f_2\right|=\mathbf{const}[/math].[br][br]Mit den folgenden [i][b]Formeln[/b][/i] sollen diese [b]CASSINI[/b]-Kurven rechnerisch ermittelt werden.[br]Sämtliche Formeln lassen sich eins-zu-eins im Applet oben [b]test[/b]en: [br]die geometrischen Ergebnisse der Formeln werden im Appplet [b]weiß[/b] dargestellt! Den Bezeichnungen ist ein "[b]t[/b]" vorangestellt.[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Bizirkulare Quartiken in Normalform:[/b][/i][/color][br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math][/size] [size=85]mit [/size][math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math] und [math]A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math][size=85][br][/size][/*][/list][size=85]Die Quartiken sind für [math]\[\delta=\left\{\begin{array}{r@{\quad:\quad}l}-1 & \mbox{1-teilig, symmetrisch zu den Achsen}\\0 & \mbox{achsensymmetrische Kegelschnitte, invertiert am Einheitskreis}\\+1 & \mbox{2-teilige Quartiken, symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis}\end{array}\right. \][/math][br][color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color] auf den Achsen: [math]s_x:=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x\;^2-\delta}}+0\cdot i[/math] und [math]s_y:=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y\;^2-\delta}}[/math],[br]und es ist umgekehrt: [math]A_x:=\frac{1}{2}\cdot\left(s_x\,^2+\frac{\delta}{s_x\,^2}\right)[/math] und [math]B_y:=\frac{1}{2}\cdot\left(s_y\,^2+\frac{\delta}{s_y\,^2}\right)[/math].[br][color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color] auf dem [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]: [math]SE:=\pm\sqrt{\frac{B_y-\frac{1+\delta}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{1+\delta}{2}}{A_x-B_y}}[/math][br][br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte:[/b][/i][/color][br]Mit [math]Q_x:=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{A_x-B_y}=\frac{1}{2}\cdot\left(f_x\,^2+\frac{\delta}{f_x\,^2}\right)[/math] berechnet man die [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][color=#000000] [math]f_x:=\pm\sqrt{Q_x\pm\sqrt{Q_x\;^2-\delta+0\cdot i}}[/math].[/color][/color][br]Die [math]\sqrt{ }[/math]-Funktion in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] rechnet für reelle Radikanten reell, d.h. ein negativer Radikant ergibt als Ergebnis ?.[br]Mit dem "Trick" [math]+0\cdot i[/math] rechnet [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color][/size] dankenswerterweise [color=#0000ff][i][b]komplex[/b][/i][/color]: mit der obigen Formel werden auch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][br]auf der [math]y[/math]-Achse und sogar die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf dem [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] berechnet, sofern sie existieren![br]Als Test variiere man [math]A_x,B_y[/math] und [math]\delta[/math]. Übrigens: [math]Q_y:=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{B_y-A_x}=-Q_x[/math][br]Für [math]\delta=0[/math] erhält man [color=#ff7700][i][b]invertierte Kegelschnitte[/b][/i][/color]: der Ursprung ist ein [color=#999999][i][b]doppelt-zählender[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Konfokale bizirkulare Quartiken in Normalform:[/b][/i][/color][br]Durch jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] der Ebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math], von den vorgegebenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, [br]gehen genau [b]2, [color=#0000ff][i]zueinander orthogonale[/i][/color][/b] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] der Schar [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]! [br]Die [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i]-[i][b]Kreise[/b][/i][/color], das sind die [color=#f1c232][i][b]Achsen[/b][/i][/color] und gegebenenfalls der [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color], gehören zur Schar. [br]Daher geht durch jeden Scheitelpunkt auf einer Achse eine weitere Quartik. Es kann allerdings sein, dass auf diese [br]Weise [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color], welche die Achse [i][b]nicht[/b][/i] schneiden, nicht erfasst werden: bei [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color] mit [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color][br]auf der [math]x[/math]-Achse schneiden die [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] die [math]y[/math]-Achse nur in [math]\infty[/math].[br][br]Sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fest vorgegeben, so ist [math]Q_x=\frac{1}{2}\cdot\left(f_x\,^2+\frac{\delta}{f_x\,^2}\right)[/math] ebenfalls bestimmt [br]und für die Koeffizienten [math]AC_x,BC_y[/math] der [color=#38761D][i][b]"C"onfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] gilt die Beziehung: [math]BC_y=\frac{Q_x\cdot AC_x-\delta}{Q_x-AC_x}[/math].[br]Ist irgendein Punkt [math]p=x_p+i\cdot y_p[/math] vorgegeben, so lassen sich die Koeffizienten [math]AC_x,BC_y[/math] aus der Gleichung[br][math]\left(x_p\,^2+y_p\,^2\right)^2-2\cdot AC_x\cdot x_p\,^2-2\cdot BC_y\cdot y_p\,^2+\delta=0[/math] durch Lösen einer [i][b]quadratischen Gleichung[/b][/i] berechnen.[br]Die [b]2[/b] Lösungen ergeben 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] durch den Punkt [math]p[/math]. Man [b]teste[/b] dies mit dem Punkt [b]tS[/b]![/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Geometrisches: [/b][/i][/color][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] [color=#cc0000][i][b]und[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise; [color=#0000ff]Leitkreise[/color][/b][/i][/color][br][br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Nullstellen der [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i]: [math]z'^2=\left(z-f_1\right)\cdot\left(z-f_2\right)\cdot\left(z-f_3\right)\cdot\left(z-f_4\right)[/math].[br]Jeder [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color], auf dem nicht alle [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen, zerlegt die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] in symmetrisch-liegende [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]-Paare. [br]Für [math]\delta=1[/math] geht dies auf 3 verschiedene Weisen, jeweils liegen 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] vor. Durch jeden Punkt [math]p[/math] geht aus jedem Büschel[br]genau ein [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreis[/b][/i][/color]. Die Quartiken durch [math]p[/math] sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser 2 [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreise[/b][/i][/color] durch [math]p[/math]. [br]Die [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] dieser beiden [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreise[/b][/i][/color] sind [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der [i][b]Quartiken[/b][/i]. [br]Der 2.te Berührpunkt ist der Symmetrie-Punkt bezüglich der zugrundeliegenden Spiegelung.[br]Für [math]\delta=-1[/math] muß eines der beiden durch die gegenüberliegenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] definierten Kreisbüschel [color=#ff00ff][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], [br]das andere [color=#ff00ff][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] sein. Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind wieder Winkelhalbierende dieser [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreise[/b][/i][color=#000000]. [br]Die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind wieder die [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Brenn-Kreise[/b][/i][/color].[br]Im Fall der invertierten [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] ([math]\delta=0[/math]) mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color],[color=#00ff00][b]f[/b][/color][i][color=#00ff00][b]'[/b][/color][/i]=-[color=#00ff00][b]f[/b][/color] und dem doppelt-zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color]=0[/color][/color][br]kann man das [color=#ff0000][i][b]elliptische[/b][/i][/color] ( oder das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische[/b][/i][/color]) [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel-Paar[/b][/i][color=#000000])[/color][/color] mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color] bzw. [color=#00ff00][b]f'[/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color] zugrunde [br]legen - oder das [i][b]elliptische[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][color=#000000][color=#00ff00][b]f[/b][/color],[color=#00ff00][b]f[/b][/color][i][color=#00ff00][b]'[/b][/color][/i][/color][/color][/size] und ein achsenparalleles[i][b] parabolisches[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color]durch [color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color].[br]Die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] finden sich wie oben.[br][br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise:[/b][/i][/color] Man zeichne einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] aus. Spiegelt man diesen an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b] Kreisen[/b][/i][/color] [br]einer [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][color=#000000] u[/color][/color]nd einer Schar, so erweist sich die Spur dieser Spiegelpunkte als [i][b]Kreis[/b][/i]: dies ist der zugehörige [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[br]Den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] kann man mit Hilfe der [color=#ff0000][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color] leicht konstruieren, er ist stets symmetrisch zur Hauptachse, [br]bzw. geht durch die gegenüber-liegenden Brennpunkte ([math]\delta=-1[/math]).[br]Umgekehrt kann man aus den Punkten des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] konstruieren.[/size]

[size=85]Den [b]CASSINI[/b]-Kurven in der Schar [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularer Quartiken[/b][/i][/color] kann man sich auf mehrere Arten nähern:[br][br][b]I) : CASSINI[color=#cc0000][i]-Kurve als Bild eines [color=#ff0000]Kreises[/color] unter der [color=#0000ff]komplexen[/color] Wurzel-Abbildung: [math]z\mapsto \sqrt{z}[/math][/i][/color][/b][br]Die Gleichung[br][list][*][math]\rho^2=\left|z-m\right|^2\cdot\left|z+m\right|^2=\left|z^2-m^2\right|^2=\left(z\cdot \bar{z}\right)^2-z^2\cdot m^2-\bar{z^2}\cdot m^2+m^4\\[br]\mbox{ }=(x^2+y^2)^2-2\cdot x^2\cdot m^2+2\cdot y^2\cdot m^2+m^4[/math][br][/*][/list]läßt sich für reelles [math]m[/math] deuten als [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichung[/b][/i][/color] in [math]w=z^2[/math] mit Mittelpunkt [math]m^2[/math], d.h. die [b]CASSINI[/b]-Kurve [br]entsteht aus diesem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] unter der Wurzelabbildung.[br]Der Abgleich mit der [color=#ff7700][i][b]Quartik-Gleichung[/b][/i][/color] ergibt: [math]AC_x=-BC_y=m^2[/math] und [math]\delta=m^4-\rho^2[/math], also [math]\rho^2=m^4-\delta[/math].[br]Vorgegeben sind die Brennpunkte, daher ist [math]Q_x=\frac{1}{2}\cdot\left(f_{x}\,^2+\frac{\delta}{f_{x}\,^2}\right)=\frac{\delta-A_x\cdot B_y}{A_x-B_y}=\frac{\delta+m^4}{2\cdot m^2}[/math] festgelegt.[br]Aus der quadratischen Gleichung [math]m^4-m^2\cdot\left(f_{x}\,^2+\frac{\delta}{f_{x}\,^2}\right)+\delta=0[/math] berechnet man: [math]m^2=f_{x}\,^2[/math] oder [math]m^2=\frac{\delta}{f_{x}\,^2}[/math].[br]Es bleibt noch, aus [math]A_x=\frac{1}{2}\cdot\left(s_x\,^2+\frac{\delta}{s_x\,^2}\right)= m^2[/math] die [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] zu ermitteln: [math]s_x=\pm\sqrt{f_{x}\,^2\pm\sqrt{f_{x}\,^4-\delta}}[/math][br] - Für [math]\delta=1[/math] liegt der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] in der rechten Halbebene, [i][b]Mittelpunkt[/b][/i] ist [math]f_x\,^2[/math], Radius ist [math]\rho=\sqrt{f_x\,^4-1}[/math]. [br]Der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] ist orthogonal zum [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]. Das Bild unter der Wurzel-Funktion ist eine 2-teilige [b]CASSINI[/b]-Kurve.[br] - Für [math]\delta=0[/math] berührt der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] die [math]y[/math]-Achse im Urprung. Das Bild ist eine [b]BERNOULLI-[/b]Lemniskate, [br]invertiert erhält man eine gleichseitige [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color].[br] - Für [math]\delta=-1[/math] schneidet der Kreis den [/size][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] in [math]\pm i[/math], das Bild unter der Wurzel-Funktion ist eine 1-teilige [b]CASSINI[/b]-Kurve.[br]Die 2. [b]CASSINI[/b]-Kurve der Schar erhält man:[br] - für [math]\delta=1[/math] durch Spiegelung am [color=#BF9000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]\left(x-1\right)^2+y^2=2[/math]. Dabei werden die [math]y[/math]-Achse und der [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] vertauscht,[br] - für [math]\delta=0[/math] gibt es keine 2. [b]CASSINI[/b]-Kurve,[br] - für [math]\delta=-1[/math] tausche man die Rolle von [math]x[/math]- und [math]y[/math]-Achse, der abzubildende Kreis geht durch [math]\pm1[/math], der Mittelpunkt ist [math]\frac{i}{f_x\,^2}[/math],[br] die [/size][size=85][size=85][b][color=#cc0000][i]Wurzel-Abbildung[/i][/color][/b][/size] ist [math]z\mapsto i\cdot\sqrt{-i\cdot z}[/math].[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Bestimmung der CASINI-Kurven mit Hilfe der Leitkreise[/b][/i][/color][br][br][br]in Arbeit[br][br][br][br]bla[/size]