Vediamo come Archimede dimostra usando il [i]principio di esaustione[/i] il seguente fatto.[br][br][quote][i]Il cerchio è uguale a un triangolo che ha come base la circonferenza e come altezza il raggio.[/i][/quote][br]Dall'Applet qui sotto è possibile vedere che, modificando il raggio della circonferenza, l'enunciato continua a valere.

Divido la dimostrazione in due casi.

[math]C[/math] = cerchio[br][math]T[/math] = triangolo che ha per base la circonferenza di [math]C[/math] e per altezza il suo raggio[br][math]P_n[/math] = poligono di [math]n[/math] lati inscritto alla circonferenza[br][math]T_n[/math] = triangolo che ha per base il perimetro di [math]P_n[/math] e per altezza il suo apotema

[math]C[/math] = cerchio[br][math]T[/math] = triangolo che ha per base la circonferenza di [math]C[/math] e per altezza il suo raggio[br][math]P'_n[/math] = poligono di [math]n[/math] lati circoscritto alla circonferenza[br][math]T'_n[/math] = triangolo che ha per base il perimetro di [math]P'_n[/math] e per altezza il suo apotema

Ho ottenuto in entrambi i casi un assurdo, quindi l'ultima possibilità rimasta è [math]T=C[/math]