[b]Transformación de funciones[br][br][/b]Se entiende por [b]transformación de funciones [/b]las alteraciones que sufre la gráfica de una función.[br][br][b]Tipos de transformación de funciones[br][br][/b]Se consideran tres tipos de transformaciones:[br][br]- Traslación o desplazamiento [br][br]- Reflexión [br][br]- Expansión-compresión o dilatación-contracción[br][br][i]A continuación se presentan 5 applets: [br][br]Los 4 primeros permiten mostrar las diferentes transformaciones de la función original o modelo f(x).[br][br]Las funciones modelo mostradas son: [br][br]- Función cuadrática, f(x) = x[sup]2[/sup][br][br]- Función cúbica, [i]f(x) = x[sup]3[/sup][/i][br][br]- Una función periódica, f(x) = sen(x)[br][br]- Función valor absoluto, f(x) = |x|[br][br]En el applet No. V se muestra como función modelo f(x) = x[sup]2[/sup]. A esta función se le aplica en forma sucesiva los tres tipos de transformación. [/i][br][br][br][b]Traslación o desplazamiento[br][br][/b]Son transformaciones rígidas que cambian la posición de la gráfica de una función. La gráfica puede trasladarse hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda. Por lo tanto, hay [b]traslaciones verticales[/b] y [b]traslaciones horizontales[/b]. [br][br]Cuando se aplica una traslación a una función, la gráfica resultante conserva la forma y también la orientación de la función original o función modelo.[br][br][b]Traslación vertical [/b]se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje Y. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función trasladada será [b]f(x + k)[/b], siendo k un número real.[br][br]Si [b]k > 0[/b] la gráfica se traslada hacia arriba. Cada imagen de [b]x[/b] aumenta verticalmente [b]k[/b] unidades.[br][br]Si [b]k < 0[/b] la gráfica se traslada hacia abajo. Cada imagen de [b]x[/b] disminuye verticalmente [b]k[/b] unidades.[br][br][b]Traslación horizontal [/b]se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje X. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función trasladada será [b]f(x + k)[/b], siendo k un número real.[br][br]Si [b]k > 0[/b] la gráfica se traslada hacia la izquierda. Cada imagen de [b]x[/b] disminuye horizontalmente [b]k[/b] unidades.[br][br]Si [b]k < 0[/b] la gráfica se traslada hacia la derecha. Cada imagen de [b]x[/b] aumenta horizontalmente [b]k[/b] unidades.[br][br][br][b]Reflexión[/b][br][br]Son transformaciones rígidas que cambian la posición de una gráfica con relación a una línea de tal manera que los puntos de la función modelo y los puntos de la función reflejada son opuestos a la línea de reflexión (están a igual distancia de la recta de reflexión).[br][br]La línea de reflexión actúa como un espejo y recibe el nombre de [b]eje de simetría[/b]. Las dos gráficas, la original y la reflejada, son simétricas con relación al eje. En este caso se habla de [b]simetría axial[/b].[br][br]Cualquier recta puede ser utilizada como eje de simetría. Sin embargo, solamente se van a considerar dos casos especiales, tomando como referencia los ejes X y Y del plano cartesiano.[br][br][b]Reflexión sobre el eje X[/b]. Se da cuando el eje de simetría es el eje X. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función reflejada será [b]-f(x)[/b], o lo que es lo mismo, [b](-1)*f(x)[/b]. Las secciones de la gráfica que son positivas se convierten en negativas y las negativas se convierten en positivas.[br][br][b]Reflexión sobre el eje Y[/b]. Se da cuando el eje de simetría es el eje Y. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función reflejada será [b]f(-x)[/b]. Las secciones de la gráfica que están al lado derecho del eje [b]Y[/b] pasan al lado izquierdo y las que están al lado izquierdo, pasan al lado derecho.

[b]Expansión-compresión o dilatación-contracción[br][br][/b]También llamada [b]escalamiento[/b]. Es una transformación no rígida en la cual la gráfica experimenta un alargamiento o acortamiento horizontal o vertical.[br][br][b]Escalamiento vertical[/b] se da cuando la función se multiplica por un número real. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función escalada será [b]k*f(x)[/b]. Se tiene dos casos:[br][br]Si [b]0 < |k| < 1 [/b]se tiene una compresión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace menor. Si [b]k[/b] se acerca a [b]0[/b], la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si [b]|k|[/b] se acerca a [b]1[/b], la gráfica se acerca a la gráfica original.[br][br]Si [b]|k| > 1 [/b]se tiene una expansión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace mayor.[br][br]Adicional a lo anterior, [b]si k < 0[/b], la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje X.[br][br][b]Escalamiento horizontal[/b] se da cuando la variable independiente [b]x[/b] se multiplica por un número real. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función escalada será [b]f(k*x)[/b]. Se tiene dos casos:[br][br]Si [b]0 < |k| < 1 [/b]se tiene una expansión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace mayor. Si [b]k[/b] se acerca a [b]0[/b], la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si [b]|k|[/b] se acerca a [b]1[/b], la gráfica se acerca a la gráfica original.[br][br]Si [b]|k| > 1 [/b]se tiene una compresión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace menor.[br][br]Adicional a lo anterior, [b]si k < 0[/b], la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje Y.[br][br][i]Se sugiere mostrar un solo tipo de transformación a la vez.[/i]

A continuación se tiene el applet V, en el cual la función [b]f(x) = x[sup]2[/sup] [/b]se toma como función modelo.[br][br]A esa función se le hacen, en su orden, las siguientes transformaciones:[br][br]1. Traslación horizontal y/o vertical. Se obtiene la función [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden mostrar los vectores de desplazamiento. [br][br]2. Escalamiento de la función anterior [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden hacer los dos tipos de escalamiento:[br][br] a. Escalamiento vertical. Se obtiene la función [b]g[sub]a[/sub](x)[/b]. Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje X. [br][br] b. Escalamiento horizontal. Se obtiene la función [b]g[sub]b[/sub](x)[/b]. Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje Y. [br][br] Se reitera que si el número [b]K[/b] por el cual se multiplica en un escalamiento es menor que cero, automáticamente, [br] además del escalamiento, se hace una reflexión.[br][br]3. Reflexión de la función [b]g[sub]a[/sub](x)[/b] obtenido en el paso 2.a. (escalamiento vertical de [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden hacer los dos tipos de reflexión. Se obtienen las funciones [b]h[sub]ax[/sub](x)[/b] y [b]h[sub]ay[/sub](x)[/b].