[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b][size=50][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/size][/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]22. Juli 2020[/b][/i][/color][/size][/right][size=85]Mittelpunkts-[color=#0000ff][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] sind [color=#20124D][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] spezielle [color=#274E13][i][b]DARBOUX-Cycliden[/b][/i][/color]:[br] [math]\infty[/math] ist ein [color=#00ff00][i][b]doppelt-zählender Brennpunkt[/b][/i][/color], [br] und sie besitzen 3 [color=#BF9000][i][b]Symmetriekugeln[/b][/i][/color] - üblicherweise sind dies die 3 [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Konfokale Quadriken[/b][/i][/color] sind durch ihre [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] charakterisiert. Sie bilden eine Quadrikschar mit den Gleichungen[br][/size][list][*][size=85][math]\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}+\frac{z^2}{c^2-\lambda}=1[/math] mit fest gewählten [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math] mit [math]a>b>c>0[/math].[br][/size][/*][/list][math]\lambda>a^2[/math][size=85]: keine reelle Fläche, [/size][math]a^2>\lambda>b^2[/math][size=85]: 2-schaliges [color=#0000ff][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color], [/size][math]b^2>\lambda>c^2[/math][size=85]: 1-schaliges [color=#0000ff][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color],[/size] [math]c^2>\lambda[/math][size=85]: [color=#cc0000][i][b]E[/b][/i][/color][/size][size=85][color=#cc0000][i][b]llipsoid[/b][/i][/color].[br]Durch fast jeden Punkt des Raumes gehen 3 [color=#0000ff][i][b]Quadriken[/b][/i][/color], und diese schneiden sich paarweise [i][b]orthogonal[/b][/i]![br]Siehe [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Konfokale_Kegelschnitte]Konfokale Kegelschnitte in wikipedia[/url]![br]Uns interessieren auf der Suche nach [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#134F5C][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color], und damit auch [br]die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#0000ff][i][b]Quadriken[/b][/i][/color]. Siehe [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/shzzaxsr]BLASCHKES Frage und ...[/url] ; siehe auch das [color=#980000][i][b]geogebrabook[/b][/i][/color] über [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]6-Eck-Netze[/url].[br]Auf [color=#cc0000][i][b]Ellipsoiden[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]2-schaligen Hyperboloiden[/b][/i][/color] existieren 2 Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], die im Falle [br]einer [color=#BF9000][i][b]Rotationssymmetrie[/b][/i][/color] zusammenfallen. [br]Auf [color=#0000ff][i][b]1-schaligen Hyperboloiden[/b][/i][/color] existieren neben den erzeugenden [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] - das sind [color=#073763][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [math]\infty[/math] - [br]2 weitere Kreisscharen (bzw. eine bei rotationssymmetrischen [color=#0000ff][i][b]Hyperboloiden[/b][/i][/color]).[br]Diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] bilden ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz [/b][/i][/color]! [br][br]Läßt man [math]\lambda[/math] gegen die Grenzen [math]c^2[/math] oder [math]b^2[/math] gehen - von unten [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomout.png[/icon] wie von oben [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] -, so gehen die räumlichen [br][b][i][color=#0000ff]Quadriken[/color][/i][/b] gegen doppelt-belegte Kegelschnitt-Flächen, deren Ränder die [b][i][color=#134f5c]Fokal-Kegelschnitte[/color][/i][/b] sind. [br]Bei [math]\lambda\rightarrow c^2[/math] ist das eine [b][i][color=#cc0000]Ellipse[/color][/i][/b] in der [math]xy[/math]-Ebene mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]\pm f[/math] und den [b][i][color=#ff7700]Scheiteln[/color][/i][/b] [math]\pm f_{xz}[/math]. [br]Bei [math]\lambda\rightarrow b^2[/math] erhält man eine [b][i][color=#0000ff]Hyperbel[/color][/i][/b] in der [math]xz[/math]-Ebene mit den [b][i][color=#ff7700]Scheiteln[/color][/i][/b] bei [math]\pm f[/math] und den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] bei [math]f_{xz}[/math].[br]Betrachtet man die Schnittkurven der [b][i][color=#0000ff]konfokalen Quadriken[/color][/i][/b] - es sind dies die [b][i]Krümmungslinien[/i][/b] auf den einzelnen [b][i][color=#0000ff]Quadriken[/color][/i][/b], [br]- so erkennt man, dass sie orthogonal oder „parallel“ zueinander verlaufen; [br]und man sieht deutlich [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]-ähnliche Punkte auf den [b][i][color=#0000ff]Quadriken[/color][/i][/b]: [br]in diesen Punkten schneiden die [b][i][color=#274e13]Fokal-Kegelschnitte[/color][/i][/b] die [b][i][color=#0000ff]Quadriken[/color][/i][/b]![br]In diesen [b][i][color=#00ff00]Punkten[/color][/i][/b] „verschwinden“ die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] auf den [b][i][color=#0000ff]Quadriken[/color][/i][/b]: [br] - auf den [color=#0000ff][i][b]Ellipsoiden[/b][/i][/color] verschwinden die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] im Schnitt mit der [color=#980000][i][b]Fokal-Hyperbel[/b][/i][/color],[br] - auf den 2-teiligen [color=#0000ff][i][b]Hyperboloiden[/b][/i][/color] verschwinden die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] im Schnitt mit der [color=#980000][i][b]Fokal-Ellipse,[/b][/i][/color][br] - auf den 1-teiligen [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Hyperboloiden[/b][/i][/color][/size] verschwinden die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] in [math]\infty[/math]: dies ist ein mehrfach-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [br] und zugleich ein[color=#0000ff][i][b] Quadrik-Punkt![/b][/i][/color][br][br]Wir haben im Applet die [color=#ff7700][i][b]Höhenlinien[/b][/i][/color] mit eingeplant, obwohl sie für [color=#0000ff][i][b]Quadriken [/b][/i][/color]eigentlich unnötig für die Darstellung sind.[br]Leider können wir bisher in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] die [/size][size=85][size=85][color=#274E13][i][b]DARBOUX-Cycliden[/b][/i][/color][/size] weder als [b][i]Implizite Flächen[/i][/b], noch durch [i][b]Parameterdarstellung[/b][/i][br]präsentieren, wir behelfen uns dort mit den [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Höhenlinien[/b][/i][/color][/size].[br]Wir würden für die [i][b]Parameterdarstellung[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] auch gerne die [color=#ff0000][i][b]Kreisscharen[/b][/i][/color] auf den [color=#0000ff][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] nutzen, [br]das steht noch aus![br]Noch interessanter wäre eine [/size][size=85][size=85][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i][/size] längs der [color=#85200C][i][b]Krümmungslinien[/b][/i][/color]: das sind die Schnittkurven mit den [br][color=#0000ff][i][b]orthogonalen Quadriken[/b][/i][/color]. Von welcher Art sind diese Kurven? [color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] können es nicht sein: [color=#ff7700][i][b][br]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] entstehen als Schnitt einer [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] mit einer [color=#0000ff][i][b]Quadrik[/b][/i][/color]. Die [/size][size=85][size=85][color=#85200C][i][b]Krümmungslinien[/b][/i][/color][/size] entstehen als Schnitt [br]zweier [color=#0000ff][i][b]orthogonaler Quadriken[/b][/i][/color] mit denselben [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]. Sie erzeugen ein orthogonales Kurvennetz wie die [color=#cc0000][i][b][br]konfokalen Kegelschnitte[/b][/i][/color] oder die [color=#cc0000][i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] in der Ebene. [br]Analytisch handelt es sich im ebenen Falle um die Lösungskurven [i][b]elliptischer Differentialgleichungen[/b][/i], wenn die Nullstellen, [br]also die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], eine spezielle Lage besitzen: konzyklisch oder spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, [br]oder zusammenfallend.[br]Man erkennt auch auf den konfokalen Quadriken "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]": das sind die Punkte, in denen die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] verschwinden. [br]Es ist zu vermuten, dass es zu den [i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i] in der komplexen Ebene ein räumliches Pendant gibt: [br]"[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" oder "[color=#00ff00][i][b]Brennlinien[/b][/i][/color]" sind dann die Nullstellen einer solchen Differentialgleichung! [/size]