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Trigonometrie

V. Körkel, May 1, 2020

In diesem Kurs wollen wir alles Wichtige zu Sinus, Kosinus und Tangens lernen.

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck
1. Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
2. Übung Sinus, Kosinus und Tangens
3. Wichtige Werte von Sinus, Kosinus und Tangens
Berechnungen am Dreieck
1. Wiederholung
2. Berechnen von Winkelgrößen
3. Berechnen von Seitenlängen
Anwendungsaufgaben
1. Wiederholung
2. Anwendungsaufgabe: Baumhöhe bestimmen
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
1. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
2. Vom Sinus am Einheitskreis zur Sinusfunktion
3. Sinus und Kosinus am Einheitskreis

1.

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck

Mit Sinus, Kosinus und Tangens kann man Streckenlängen am rechtwinkligen Dreieck berechnen. Doch wie sind Sinus, Cosinus und Tangens definiert? Welche Werte haben sie? Darum soll es in diesem Kapitel gehen.

1. Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
2. Übung Sinus, Kosinus und Tangens
3. Wichtige Werte von Sinus, Kosinus und Tangens

1.1.

Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?

Um Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck zu entdecken, lassen wir Geogebra rechtwinklige Dreiecke für uns zeichnen. [br]Betrachte dir Schritt für Schritt die folgende App. [br][br]0. Schritt: Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel [math]\alpha[/math] eingezeichnet. Seine Größe kannst du über den Schieberegler verändern. [br]1. Schritt: Der dritte Winkel im Dreieck lässt sich aus der Winkelsumme im Dreieck berechnen: [math]\beta=180^\circ-90^\circ-\alpha[/math]. [br]2. Schritt: Wir nennen die Kathete neben [math]\alpha[/math] Ankathete, die gegenüber von [math]\alpha[/math] Gegenkathete. [br]3. Schritt: Wir berechnen den Bruch [math]\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}[/math].[br]4. Schritt: Der Wert dieses Bruchs ist der Sinus des Winkels [math]\alpha[/math]: [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}[/math].[br]Probiere aus, wie sich der Sinus verändert, wenn du den Winkel [math]\alpha[/math] veränderst.

Übung 1:

Bestimme durch Ausprobieren in der App verschiedene Werte des sin([math]\alpha[/math]). Kreuze die richtigen Werte an.

sin(45°)=0,71 sin(80°)=0,02 sin(45°)=0,17 sin(80°)=0,78 sin(30°)=0,5 sin(30°)=0,62 sin(30°)=0,32 sin(45°)=1,12 sin(80°)=0,98

Ähnlich kann man den Kosinus cos und den Tangens tan eines Winkels definieren: [br][math]\cos\left(\alpha\right)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}[br][/math] und [br][math]\text{tan}\left(\alpha\right)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}[/math][br]Betrachte die Veränderungen von sin, cos und tan in folgender App. Du kannst den Punkt C auf dem Thaleskreis bewegen. [br]Wenn du den Punkt B verschiebst, kannst du das Dreieck vergrößern und verkleinern. Wie verändern sich sin, cos und tan?

Übung 2:

Probiere aus, welche Werte sin, cos und tan für verschiedene Winkel [math]\alpha[/math] annehmen.

cos(60°)=0,5 tan(30°)=0,42 cos(60°)=0,32 tan(30°)=0,58

Lernziel

Du solltest nun die Definition von sin, cos und tan kennen.[br][br]Teste dich![br]Zeichne dazu ein Dreieck, in dem [math]\alpha[/math] und die Bezeichnungen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse eingetragen sind. Formuliere dann ohne nachzuschauen die Definitionen von sin([math]\alpha[/math]), cos([math]\alpha[/math]) und tan([math]\alpha[/math]).

– Jan Schmitt, pago, V. Körkel

1.2.

–

1.3.

–

2.

Berechnungen am Dreieck

Hier lernst du, wie man Sinus, Kosinus und Tangens nutzen kann, um Seitenlängen oder Winkelgrößen in einem Dreieck zu berechnen.

1. Wiederholung
2. Berechnen von Winkelgrößen
3. Berechnen von Seitenlängen

2.1.

Wiederholung

Übung 1: Gegeben ist folgendes Dreieck.

Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete rechtwinkelige Dreieck zutreffen!

c ist die Gegenkathete von [math]\alpha[/math] b ist die Gegenkathete von [math]\beta[/math] b ist die Hypotenuse a ist die Ankathete von [math]\beta[/math] c ist die Ankathete von [math]\alpha[/math]

Übung 2: Gegeben ist folgendes Dreieck.

Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete Dreieck zutreffen.

cos[math]\varphi[/math]=0,8 tan[math]\varphi[/math]=0,75 sin[math]\varepsilon[/math]=0,6 tan[math]\varepsilon[/math]=0,75 cos[math]\varepsilon[/math]=0,6 sin[math]\varphi[/math]=0,8

[math]\varphi[/math] ist übrigens der griechische Buchstabe "phi" (Man liest das: "fi")[br][math]\varepsilon[/math] ist der griechische Buchstabe "epsilon".

– V. Körkel, meli.anna.hunger

2.2.

–

2.3.

–

3.

Anwendungsaufgaben

Hier lernt ihr, Anwendungsaufgaben zu bearbeiten, die mit trigonometrischen Funktionen in rechtwinkligen Dreiecken gelöst werden können.

1. Wiederholung
2. Anwendungsaufgabe: Baumhöhe bestimmen

3.1.

Wiederholung

Bearbeite als Wiederholung des Themas die folgenden Aufgaben.

Übung 1

Übung 2

Für die folgenden Aufgaben hilft dir das Applet. Darin kannst du die Punkte so verschieben, dass das Dreieck dir als Skizze für die Aufgaben hilft. So kannst du den rechten Winkel an der richtigen Stelle einstellen.

Deine veränderbare Skizze für die Übungen 3 und 4:

Übung 3

In einem rechtwinkligen Dreieck mit [math]\gamma=90°[/math] ist die Grundseite c=10 cm, die Seite a=3 cm. [br]Wie groß ist der Winkel [math]\alpha[/math]? [br]Fertige zunächst eine Skizze an. [br]Berechne mit dem Taschenrechner.

[math]\alpha=17,5[/math], weil [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{3}{10}[/math][br] [math]\alpha=24,3[/math], weil [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{3}{10}[/math] [math]\alpha=73,3[/math], weil [math]\tan\left(\alpha\right)=\frac{10}{3}[/math][br] [math]\alpha=72,5[/math], weil [math]\cos\left(\alpha\right)=\frac{3}{10}[/math][br] [math]\alpha=17,5[/math], weil [math]\cos\left(\alpha\right)=\frac{3}{10}[/math]

Übung 4

Berechne die Länge der Seite a in einem Dreieck mit [math]\alpha=90°[/math], [math]\gamma=43°[/math]und b=4,5 cm. [br][br]Fertige zunächst eine Skizze an und überlege dir, wie du vorgehen kannst.

Die Seite a ist die Ankathete zum Winkel [math]\gamma[/math]. Die Seite b=4,5 cm ist die Hypotenuse des Dreiecks. Die Seite b=4,5 cm ist die Ankathete zum Winkel [math]\gamma[/math]. Die Seite b=4,5 cm ist die Gegenkathete zum Winkel [math]\gamma[/math]. Die Seite a ist die Hypotenuse des Dreiecks.

Welcher Zusammenhang ist richtig?

[math]\sin\left(43°\right)=\frac{a}{4,5}[/math] [math]\cos\left(43°\right)=\frac{4,5}{a}[/math] [math]\tan\left(43°\right)=\frac{a}{4,5}[/math] [math]\cos\left(43°\right)=\frac{a}{4,5}[/math] [math]\tan\left(43°\right)=\frac{4,5}{a}[/math] [math]\sin\left(43°\right)=\frac{4,5}{a}[/math]

Wie groß ist a?

a=4,91 cm a=3,71 cm a=6,15 cm

– V. Körkel

3.2.

–

4.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

In diesem Kapitel wird erklärt, wie man Sinus und Kosinus auch für größere Winkel als 90° berechnen kann und wie man daraus eine Funktion erhält.

1. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
2. Vom Sinus am Einheitskreis zur Sinusfunktion
3. Sinus und Kosinus am Einheitskreis

4.1.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Im folgenden Applet sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis, also einem Kreis mit Radius r=1, veranschaulicht. Für den eingestellten Winkel [math]\alpha[/math] gibt der blaue Wert [math]\sin\left(\alpha\right)[/math], der grüne Wert [math]\cos\left(\alpha\right)[/math] an. [br][br]Außerdem ist das Bogenmaß x dargestellt. Betrachte dir, für welche Winkel das Bogenmaß gerade die Werte [math]\frac{1}{2}\pi[/math], [math]\pi[/math] und [math]2\pi[/math] annimmt.

Bewege den Punkt auf dem Einheitskreis.

Welchen Wert hat sin(270°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.

0 0,5 -1 1 -0,5

Welchen Wert hat cos(270°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.

-0,5 1 0,5 0 -1

Welchen Wert hat sin(30°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.

0 1 -1 -0,5 0,5

Welchen Wert hat sin(300°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.

-sin(60°) sin(60°) -sin(100°) 3 sin(100°)

Welchen Wert hat cos(120°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.

sin(120°) cos(60°) -cos(30°) -cos(60°)

– V. Körkel, Papp

4.2.

–

4.3.

–

Information

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Trigonometrie

Table of Contents

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck

Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?

Übung 1:

Übung 2:

Lernziel

Berechnungen am Dreieck

Wiederholung

Übung 1: Gegeben ist folgendes Dreieck.

Übung 2: Gegeben ist folgendes Dreieck.

Anwendungsaufgaben

Wiederholung

Übung 1

Übung 2

Deine veränderbare Skizze für die Übungen 3 und 4:

Übung 3

Übung 4

Wie groß ist a?

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Information