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Trigonometrie
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1. Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck
- Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
- Übung Sinus, Kosinus und Tangens
- Wichtige Werte von Sinus, Kosinus und Tangens
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2. Berechnungen am Dreieck
- Wiederholung
- Berechnen von Winkelgrößen
- Berechnen von Seitenlängen
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3. Anwendungsaufgaben
- Wiederholung
- Anwendungsaufgabe: Baumhöhe bestimmen
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4. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Vom Sinus am Einheitskreis zur Sinusfunktion
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
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Trigonometrie
V. Körkel, May 1, 2020
In diesem Kurs wollen wir alles Wichtige zu Sinus, Kosinus und Tangens lernen.
Table of Contents
- Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck
- Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
- Übung Sinus, Kosinus und Tangens
- Wichtige Werte von Sinus, Kosinus und Tangens
- Berechnungen am Dreieck
- Wiederholung
- Berechnen von Winkelgrößen
- Berechnen von Seitenlängen
- Anwendungsaufgaben
- Wiederholung
- Anwendungsaufgabe: Baumhöhe bestimmen
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Vom Sinus am Einheitskreis zur Sinusfunktion
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck
Mit Sinus, Kosinus und Tangens kann man Streckenlängen am rechtwinkligen Dreieck berechnen. Doch wie sind Sinus, Cosinus und Tangens definiert? Welche Werte haben sie? Darum soll es in diesem Kapitel gehen.
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1. Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
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2. Übung Sinus, Kosinus und Tangens
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3. Wichtige Werte von Sinus, Kosinus und Tangens
Was bedeutet der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels?
Um Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck zu entdecken, lassen wir Geogebra rechtwinklige Dreiecke für uns zeichnen.
Betrachte dir Schritt für Schritt die folgende App.
0. Schritt: Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel eingezeichnet. Seine Größe kannst du über den Schieberegler verändern.
1. Schritt: Der dritte Winkel im Dreieck lässt sich aus der Winkelsumme im Dreieck berechnen: .
2. Schritt: Wir nennen die Kathete neben Ankathete, die gegenüber von Gegenkathete.
3. Schritt: Wir berechnen den Bruch .
4. Schritt: Der Wert dieses Bruchs ist der Sinus des Winkels : .
Probiere aus, wie sich der Sinus verändert, wenn du den Winkel veränderst.
Übung 1:
Bestimme durch Ausprobieren in der App verschiedene Werte des sin(). Kreuze die richtigen Werte an.
Ähnlich kann man den Kosinus cos und den Tangens tan eines Winkels definieren:
und
Betrachte die Veränderungen von sin, cos und tan in folgender App. Du kannst den Punkt C auf dem Thaleskreis bewegen.
Wenn du den Punkt B verschiebst, kannst du das Dreieck vergrößern und verkleinern. Wie verändern sich sin, cos und tan?
Übung 2:
Probiere aus, welche Werte sin, cos und tan für verschiedene Winkel annehmen.
Lernziel
Du solltest nun die Definition von sin, cos und tan kennen.
Teste dich!
Zeichne dazu ein Dreieck, in dem und die Bezeichnungen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse eingetragen sind. Formuliere dann ohne nachzuschauen die Definitionen von sin(), cos() und tan().
Wiederholung
Übung 1: Gegeben ist folgendes Dreieck.
Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete rechtwinkelige Dreieck zutreffen!
Übung 2: Gegeben ist folgendes Dreieck.
Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete Dreieck zutreffen.
ist übrigens der griechische Buchstabe "phi" (Man liest das: "fi")
ist der griechische Buchstabe "epsilon".
Wiederholung
Bearbeite als Wiederholung des Themas die folgenden Aufgaben.
Übung 1
Übung 2
Für die folgenden Aufgaben hilft dir das Applet. Darin kannst du die Punkte so verschieben, dass das Dreieck dir als Skizze für die Aufgaben hilft. So kannst du den rechten Winkel an der richtigen Stelle einstellen.
Deine veränderbare Skizze für die Übungen 3 und 4:
Übung 3
In einem rechtwinkligen Dreieck mit ist die Grundseite c=10 cm, die Seite a=3 cm.
Wie groß ist der Winkel ?
Fertige zunächst eine Skizze an.
Berechne mit dem Taschenrechner.
Übung 4
Berechne die Länge der Seite a in einem Dreieck mit , und b=4,5 cm.
Fertige zunächst eine Skizze an und überlege dir, wie du vorgehen kannst.
Welcher Zusammenhang ist richtig?
Wie groß ist a?
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
In diesem Kapitel wird erklärt, wie man Sinus und Kosinus auch für größere Winkel als 90° berechnen kann und wie man daraus eine Funktion erhält.
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1. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
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2. Vom Sinus am Einheitskreis zur Sinusfunktion
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3. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Im folgenden Applet sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis, also einem Kreis mit Radius r=1, veranschaulicht. Für den eingestellten Winkel gibt der blaue Wert , der grüne Wert an.
Außerdem ist das Bogenmaß x dargestellt. Betrachte dir, für welche Winkel das Bogenmaß gerade die Werte , und annimmt.
Bewege den Punkt auf dem Einheitskreis.
Welchen Wert hat sin(270°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.
Welchen Wert hat cos(270°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.
Welchen Wert hat sin(30°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.
Welchen Wert hat sin(300°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.
Welchen Wert hat cos(120°)? Überlege ohne den Winkel einzustellen.
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