Ville Arvio, Dec 30, 2017

GeoGebra-kirja "Numeeristen yhtälönratkaisumenetelmien havainnollistuksia" sisältää Ville Arvion matematiikan pro gradu -tutkielmassa "Numeeriset yhtälönratkaisumenetelmät" esiintyneiden kuvien interaktiiviset GeoGebra-versiot. Kyseinen opinnäytetyö on kirjoitettu akateemisen loppututkinnon lisäksi matematiikan aineenopettajan lukion numeeristen menetelmien MAA12-kurssin taustamateriaalipaketiksi. Näinpä CC-BY -lisenssillä ovat sekä tutkielma että tässä esiintyvät GeoGebra-appletit aineenopettajan kurssimateriaalina käytettävissä. Itse tutkielmaan ja numeeristen yhtälönratkaisumenetelmien materiaalipakettiin voi tutustua Jyväskylän yliopiston JYX-julkaisuarkistosta, osoitteessa [url]https://jyx.jyu.fi/dspace/handle/123456789/56870[/url] eli [url]http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201801231313[/url] Havainnollistusten arvoja voidaan muuttaa liu'uilla. Tämän lisäksi liikuteltavissa olevat pisteet ovat värillisiä. Hiiren ykköspainikkeella voit liikuttaa kuvaa. Hiiren rullalla voit lähentää tai loitontaa kuvaa eli zoomata. GeoGebra-kirjan viimeiseen lukuun on lisäksi kerätty muutamia muiden käyttäjien GeoGebra-yhteisössä CC-BY-SA -lisensoinnilla julkaisemia yhtälönratkaisumenetelmien havainnollistuksia.

Ville Arvio, Numeeriset yhtälönratkaisumenetelmät (engl. Numerical methods for equation solving). Matematiikan pro gradu -tutkielma, 125 sivua. Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Syksy 2017. Tämän tutkielman tavoitteena on käsitellä numeerisia yhtälönratkaisumenetelmiä matematiikan aineenopettajan näkökulmasta ja toimia lukion numeerisen matematiikan kurssin opettajan taustamateriaalina. Keskeinen sisältö käsittelee Lipschitz-jatkuvuutta, iteraatiota sekä Newton-Raphsonin menetelmää. Yhtälönratkaisu ja kahden lausekkeen yhtäsuuruuksien vertailu palautuu aina matematiikan klassiseen ongelmaan funktion nollakohdan etsimisestä. Keskeiset numeerisen yhtälönratkaisun metodit ovat rekursio ja iteraatio. Rekursio tarkoittaa oleellisesti toistoa. Iteraatiossa edellinen likiratkaisu ohjaa tarkentavasti seuraavan likiratkaisun laskentaa. Tällöin muodostuu tarkentuvien likiratkaisuiden lukujono, joka suotuisassa tapauksessa suppenee kohti alkuperäisen funktion nollakohtaa. Iteraatiossa yhteys alkuperäisen funktion nollakohtayhtälön [math]f(x) = 0[/math] sekä iteraattifunktion iterointiyhtälön [math]x = \phi(x)[/math] välillä on oleellinen, sillä iterointiyhtälön kiintopiste on myös alkuperäisen funktion nollakohta. Siten iterointi toimii työvälineenä nollakohdan likiarvon määrittämisessä. Iteraattifunktio ei ole yksikäsitteinen. Jotkin iteraatiomenetelmät toimivat paremmin kuin toiset. Oleellista suppenemiselle on riittävän läheltä nollakohtaa valittu alkuarvaus. Huonosti valittu alkuarvaus ja sopimaton iteraatiomenetelmä johtavat suppenemisen sijaan likiratkaisulukujonon hajaantumiseen. Iteraation suppenemisesta voidaan kuitenkin varmistua, jos pystytään osoittamaan, että iteraattifunktio on ratkaisun lähiympäristössä kutistavasti Lipschitz-jatkuva. Tällöin Lipschitz-ehto takaa, että funktio käyttäytyy nollakohdan lähiympäristössä maltillisesti ja "pomppimatta". Käytännöllisenä apuvälineenä Lipschitz-jatkuvuuden tutkimiseen hyödynnetään usein Lipschitz-jatkuvuuden derivoituvuusehtoa. Yksinkertaisimmillaan yhtälönratkaisumenetelmä on rekursiivinen puolitushaku, joka tarkentuu tarkasteluväliä puolittaen ja samalla nollakohdan välin sisäpuolella säilyttäen. Yksinkertaisin iteraatio on kiintopistemenetelmä, joka suppenee lineaarisesti. Tutkittaessa suppenemisnopeuden kiihdyttämistä päädytään Aitkenin kaavaan, jolla saadaan likiratkaisuiden poikkeaman eli liki- ja tosiratkaisun välisen etäisyyden suppenemiseen huomattava parannus. Kysymykseen voidaanko yleisesti määritellä iteraattifunktio, jonka suppenemisnopeus on vähintään neliöityvä, löydetään ehto, joka johtaa Newton-Raphsonin menetelmän palautuskaavaan ja samalla menetelmän konstruktiiviseen perusteluun. Oleellisesti Newtonin menetelmä perustuu derivaatan käyttöön, jolloin graafisesti seuraava nollakohdan likiarvo löydetään funktion kuvaajalle piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauskohdasta. Ylilineaarisesti suppenevat jänne- ja sekanttimenetelmä esitellään lyhyesti, mutta itsenäisinä menetelminä läpikäymisen sijasta lähinnä Newtonin menetelmän käytännöllisinä sovelluksina, kun funktion derivaatan arvoa on hankala laskea tai ylipäänsä derivaatta on vaikea muodostaa. Avainsanat: matematiikka, numeeriset yhtälönratkaisumenetelmät, iteraatio, Lipschitz-jatkuvuus, Newton-Raphsonin menetelmä, oppimateriaali, lukio-opetus

This chapter does not contain any resources yet.

• 1. gradu-poikkeamat

• 1. gradu-pc_ihmissilmä

• 1. gradu-lipschitz

Yksinkertainen kiintopistemenetelmä

• 1. gradu-kiintopistemenetelmä_yleis
• 2. gradu-kiintopistemenetelmä_2xcos(x)
• 3. gradu-kiintopistemenetelmä_cos

Tunnetaan myös Newton-Raphsonin menetelmänä

• 1. gradu-newton_yleis
• 2. gradu_newton_ei_aina_suppene-yleinen
• 3. gradu-newtonin_suppeneminen
• 4. gradu_newton_suppenee_ja_hajaantuu-numeerinen_esimerkki

• 1. gradu_sekanttimenetelmä_yleis
• 2. gradu-sekanttimenetelmä_sqrt25

• 1. gradu-jännemenetelmä
• 2. gradu-jänne-_ja_puolitusmenetelmä
• 3. gradu-jännemenetelmä_sqrt25
• 4. gradu-jännemenetelmä-esimerkki2

• 1. gradu-kaikki_sqrt25_samassa
• 2. gradu-sqrt_ratkaisua_samassa

Rami Nuotio on myös tehnyt GeoGebra-havainnollistuksia vastaavista yhtälönratkaisumenetelmistä. Tähän liitetyt havainnollistukset löytyvät myös hänen "MAA Pitkä matematiikka (LOPS 2005)" -GeoGebra-kirjan luvusta "MAA12 Numeeriset menetelmät" osoitteesta [url]https://www.geogebra.org/m/oHv9fHh4#chapter/49975[/url] Hannu Sinisalon tähän liitetyt havainnollistukset löytyvät myös hänen "MAA12"-GeoGebra-kirjastaan osoitteessa [url]https://www.geogebra.org/m/T2TnwxWc[/url] Ville Aitlahden (@matikkamatskut, [url]https://www.matikkamatskut.com/[/url]) tähän liitetyt havainnollistukset löytyvät hänen "MAA12 - Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä"-GeoGebra-kirjastaan osoitteessa [url]https://www.geogebra.org/m/xS8daB4b#material/EEsR8YYX[/url]

• 1. MAA12 Kiintopistemenetelmä
• 2. MAA12 Newtonin menetelmä
• 3. MAA12 Sekanttimenetelmä
• 4. Kiintopistemenetelmä ja sen graafinen havainnollistus
• 5. Newtonin algoritmi
• 6. Kiintopistemenetelmä x = f(x)