Tortuga europea. Fotografía de [url=https://twitter.com/lorenzojblanco]Lorenzo J. Blanco Nieto[/url].
Fotogebra 2023. Javier Cayetano
Mirada matemática para situaciones de aprendizaje
Table of Contents
- Naturaleza
- Matemáticas en el caparazón de una tortuga
- Esferas tangentes y naranjas
- Insectos y formas geométricas. Zapatero (Pyrrhocoris apterus)
- Arquitectura
- Ejemplo de actividad de aula. "Situación de aprendizaje" Modelizado de arcos
- Tallas que utilizan elementos geométricos. Iglesia de Agudo
- Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)
- Simetrías axial y traslacional, junto con arcos de medio punto
- Ventanal Sagrada Familia
- Diseños
- Cruz patada y polígonos regulares
- Proporciones y banderas. Ejemplo: Argentina
- Lámpara hexagonal. Mirada matemática
- Maiestas Domini. Mandorla y circunferencias
Matemáticas en el caparazón de una tortuga
La naturaleza puede enseñarnos muchas matemáticas, si la miramos con detenimiento. En este caso, vamos a centrarnos en el caparazón de una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Emys_orbicularis]tortuga europea[/url].[br]Nos llama especialmente la atención la división que trae en [b]polígonos[/b].[br][br]Una forma de modelizarlos es mediante los conocidos como [url=https://www.abc.es/ciencia/abci-diagrama-voronoi-forma-matematica-dividir-mundo-201704241101_noticia.html]Diagramas de Voronoi[/url], que podemos pensar como una generalización del concepto de Mediatriz de dos puntos (recta que divide el plano en dos: los puntos que están más cerca de uno u otro de esos dos puntos).[br][br]En el diagrama de Voronoi, la construcción se amplía al uso de más puntos. Ahora se trata de fragmentar un terreno o una superficie en las zonas que están más cerca de ciertos "centros". Puede hacerse a través de las mediatrices de puntos dos a dos; los que están más cerca unos de otros.[br]En el applet, podemos comprobarlo marcando la casilla "Mediatriz" y moviendo los puntos naranja. Cada segmento del diagrama pertenece a alguna mediatriz.
En el applet, podemos mover los puntos que se han utilizado para aproximar la distribución de la tortuga mediante un diagrama de Voronoi, para probar qué ocurre con diferentes configuraciones. [br]Ten en cuenta que parte de la simetría se pierde debido a que la fotografía no es completamente cenital.[br][br]Si unimos mediante segmentos los puntos de regiones colindantes, obtenemos la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3n_de_Delaunay]triangulación de Delaunay[/url].
Polígonos y homotecias
Por otra parte, si nos fijamos en estos polígonos, vemos que nos revelan parte de la historia de la tortuga, de forma similar a los anillos de los árboles, que nos revelan su edad.[br][br]Al crecer la tortuga, se han ido añadiendo capas a los polígonos. Estas capas se muestran claramente en la foto, en forma de líneas que conforman polígonos iguales, solo que más pequeños. Es lo que en matemáticas se denomina "semejantes".[br][br]Podríamos preguntarnos si estos polígonos siguen encajando tan perfectamente como parece que lo hacen ahora, y si es verdad que cuando la tortuga era menor, también encajaban así de bien.[br][br]Para ello, podemos recurrir a modelizar esta situación:
Nuestro turno
Como ayuda para centrarnos en el modelizado, vamos a responder razonadamente las siguientes cuestiones:[br][list][*]¿Qué tipos de polígonos se han utilizado para modelizar? Indica cuántos hay de cada tipo.[/*][*]¿Crees que el centro (su baricentro, centro de gravedad) del polígono coincide con el centro de las homotecias? ¿Es necesario que esto ocurra para que las piezas sigan encajando al crecer?[/*][*]A partir de la fotografía resulta muy fácil identificar el centro de la homotecia. ¿Podrías indicar, utilizando vocabulario matemático cómo se ha hecho?[br][/*][*]La parte de la derecha de la modelización nos permite comprobar cómo los polígonos encajan aunque cambiemos su tamaño a través de las homotecias.[br]Razona si esto será siempre así, sea cual sea la división que hagamos en polígonos (y centros de homotecia), o es algo muy concreto del caso del caparazón de la tortuga.[/*][/list][br]
Imagen utilizada
Ejemplo de actividad de aula. "Situación de aprendizaje" Modelizado de arcos
Los [url=http://enciclopedia.us.es/index.php/Arco_(arquitectura)]arcos[/url] de circunferencia son muy utilizados en construcciones. Los puntos en los que el arco se apoya el arco se llaman "impostas". La distancia entre las impostas se denomina "luz"[br][list][*]Los romanos solían utilizar medias circunferencias, y el arco se denominaba [b]de medio punto[/b], de manera que el centro de la circunferencia está en la línea que une las impostas, y comprende un ángulo llano. Su altura es, precisamente, la mitad de su luz.[br][/*][*]Cuando el centro está por debajo de la línea de impostas, el arco se denomina [b][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_escarzano]escarzano[/url][/b], y comprende un ángulo menor de 180º. Por tanto, es un arco rebajado (su[i] [/i]altura es menor que la mitad de su luz).[/*][*]Si el centro está por encima, el arco se denomina [b]de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_de_herradura]herradura[/url][/b], y es un arco "ultrapasado" (altura mayor que la mitad de su luz).[/*][*]En ocasiones, se traza la mitad izquierda y la mitad derecha del arco utilizando circunferencias con distinto centro. Esto hace que el arco tome cierta forma "de pico" en en centro.[br]Estos arcos se denominan "apuntados" u "ojivales".[/*][/list][br]
Ej1. Arco de la Estrella, en Cáceres
En la imagen de más abajo (apartado "Modelizamos el arco de la Estrella") puedes ver, de fondo, el "[url=https://cacereshistorica.caceres.es/patrimonio-historico/edificios-historicos/arquitectura-civil/arco-de-la-estrella-o-puerta-nueva/]Arco de la Estrella[/url]", en Cáceres.[br]En ella se aprecian dos arcos.[br][list][*]Uno de fondo, el denominado Arco de la Estrella[/*][*]Otro en la pared lateral derecha.[/*][/list][br][b]Cuestiones[/b]:[list=1][*]Indica qué [b]tipo de arco[/b] es cada uno.[/*][*]Utiliza las [b]herramientas GeoGebra [/b]disponibles encima de la imagen para [b]modelizar [/b]el arco de la Estrella.[/*][*][b]Describe[/b], brevemente, pero procurando utilizar el vocabulario matemático preciso, cómo has realizado el modelizado.[/*][*]Indica, si la conoces, [b]otra estrategia[/b] posible para trazar este arco.[/*][*]¿Qué [b]problema [/b]habríamos encontrado si hubiésemos querido modelizar el arco de la pared lateral derecha utilizando una estrategia similar?[/*][/list]
Modelizamos el arco de la Estrella
Ej2. Arco Carpanel de Tres Centros
Para disminuir el ángulo que forma un arco rebajado con las impostas, podemos añadir unas circunferencias tangentes tanto a ese primer arco como a los laterales. [br]Así, obtenemos un arco formado a su vez por tres arcos de circunferencia, que denominamos [b]Arco Carpanel[/b] (de tres centros). En ocasiones, pueden añadirse más circunferencias.[br][size=85](*) En [url=https://www.geogebra.org/m/xttthtwe]este enlace[/url] puedes aprender más detalles sobre cómo crear este tipo de arcos.[/size][br][br][b]Cuestiones:[/b][br][list=1][*]En particular, el centro de los nuevos arcos debe estar en la línea de impostas. Razona por qué.[/*][*]Explica, con tus palabras, qué ventaja aporta el hecho de que las nuevas circunferencias deben ser tangentes a la primera circunferencia.[/*][*]En la imagen de más abajo "Modelizamos un arco Carpanel de Tres Centros", podemos ver una fotografía del pasillo de una vivienda, en el que se encuentra un arco Carpanel.[br]- Utiliza las herramientas disponibles encima de la imagen para [b]modelizar ese arco[/b].[/*][*][b]Describe [/b]brevemente, pero utilizando vocabulario matemático, los pasos necesarios para modelizar este arco.[/*][/list][br]
Modelizamos un arco Carpanel de Tres Centros
[size=85][size=50]Arco típico en los pasillos de las casas de los pueblos de la Siberia Extremeña (España). Concretamente, Tamurejo.[/size][/size]
Ampliación. Analizando la fachada del CPR de Cáceres
La siguiente fotografía es de la fachada del CPR de Cáceres.[br]Podemos identificar diferentes elementos matemáticos, dependiendo de en qué nos interese centrarnos.[br]Analiza estos elementos utilizando GeoGebra.[br]Por ejemplo:[br][list][*]La pequeña rampa de entrada, combinada con los escalones, sirven para el estudio de la pendiente de una recta.[/*][*]Las propias escaleras, para analizar las rectas paralelas.[/*][*]El hecho de que la foto se tomó con un pequeño ángulo, hace que "sobre el papel", el ángulo de los laterales y las escaleras no sea del todo recto, pero ¿nos aporta información sobre el ángulo que estaba haciendo la cámara con la vertical respecto al suelo mientras se tomaba la fotografía?[/*][*]¿Qué figuras geométricas con las lámparas interiores? [/*][*]¿Y las piedras del contorno? Analiza qué herramientas matemáticas y de GeoGebra utilizaríamos para modelizarlas.[/*][/list]Pero queríamos centrarnos en el estudio de los arcos. Para ello, lo analizaremos de la siguiente manera:[br][list][*]¿Cómo trazar el primer arco de la izquierda? (describe matemáticamente, y llévalo a cabo)[br]Repite la actividad de manera que quede patente que es un arco de medio punto.[/*][*]El arco central, ¿es igual que el de la izquierda? ¿Qué estrategias matemáticas podemos llevar a cabo para mostrarlo?[/*][*]¿Y con el tercero?[/*][*]La parte superior del arco, ¿qué tipo de circunferencia formaría respecto la parte inferior?[/*][/list]
Fachada del CPR de Cáceres
Ej3. Comparando arcos
La siguiente imagen es del patio del edificio del Palacio de Toledo-Moctezuma de Cáceres, convertido actualmente en el Archivo Histórico Provincial.[br]Podemos apreciar la diferencia entre varios tipos de arco. Indica cuáles son, argumentando tu respuesta.[br]Fíjate en la luz (anchura), flecha (altura) y si el arco es tangente a las impostas (laterales), para describir los tipos de arco.[br]Utiliza el applet para visualizar las diferencias entre el arco escarzano y el carpanel. [br][list][*]¿Cuáles serían las diferencias entre uno y otro? Compara las posiciones de los centros de las circunferencias y cómo varía el arco al modificar la posición del centro.[/*][*]¿Se pueden apreciar bien a simple vista?[br][/*][/list][size=85](*) Recuerda que puedes visitar [url=https://www.geogebra.org/m/xttthtwe]esta actividad[/url] para aprender más sobre la construcción del arco carpanel.[/size]
Patio del palacio de Toledo-Moctezuma
Otros arcos para modelizar
Aquí tienes otras imágenes que puedes utilizar para modelizar diferentes tipos de arco.[br]
Ej4. Arco en la puerta de casa
En la siguiente imagen tenemos un arco a la entrada de una vivienda.[br][br][b]Cuestiones[/b]:[br][list=1][*]De los tipos de arco descritos anteriormente, ¿con cuál se corresponde?[/*][*]Utiliza las herramientas disponibles encima de la imagen para [b]modelizar [/b]este arco.[/*][*][b]Describe [/b]brevemente, pero utilizando vocabulario matemático, los pasos necesarios para modelizar ese arco.[/*][/list]
Una mirada matemática en la Plaza Alta de Badajoz
Las imágenes de las siguientes actividades han sido tomadas en la Plaza Alta Marín de Rodezno, de Badajoz (España). [br][[url=https://goo.gl/maps/x5pXPBuPdDhv7Dp9A]Clic para ir a Google Maps[/url]]
Ej5. Las Casas Consistoriales
En la siguiente imagen "Fachada de las Antiguas Casas Consistoriales de la Plaza Alta de Badajoz", aparecen diferentes tipos de arco:[br][list][*]En el centro, los pertenecientes a dichas Casas Consistoriales.[/*][*]A ambos lados de las casas.[/*][/list][b]Cuestiones[/b]:[br][list=1][*]Revisa la descripción de los tipos de arcos que hay más arriba, para indicar qué tipos de arcos aparecen en la imagen.[br](*) Ten en cuenta que detrás de los arcos de estas Casas Consistoriales, se aprecian nuevos arcos.[/*][*]Utiliza las herramientas disponibles encima de la imagen para [b]modelizar [/b]alguno de[b] los arcos de la fachada de las Casas Consistoriales.[/b][/*][*][b]Describe [/b]brevemente, pero utilizando vocabulario matemático, los pasos necesarios para modelizar ese arco.[/*][*]Fíjate en que podríamos decir que los 4 arcos son iguales. Una vez tenemos ese primer arco, ¿hay alguna forma de obtener el trazado de los demás sin tener que repetir los cálculos anteriores? (no es necesario que hagas el modelizado).[/*][/list]
Fachada de las Antiguas Casas Consistoriales de la Plaza Alta de Badajoz
Ej6. Arco del Peso
[list=1][*]Describe los diferentes tipos de arco que observas en esta imagen.[/*][*]Elige uno de ellos y modelízalo con las herramientas disponibles.[/*][*]Describe brevemente, pero usando con vocabulario matemático, el proceso que has seguido para modelizarlo.[/*][/list]
Arco del Peso en la Plaza Alta de Badajoz
Ej7. Más tipos de arco. Convento de San José
Existen muchos tipos de arco, y muchas veces se combinan en la arquitectura.[br]Por ejemplo, en el lateral del convento de San José podemos observar otros tipos de arco con los que aún no hemos trabajado.[br][list=1][*]Identifica diferentes tipos de arco y descríbelos.[/*][*]Indica, con tus palabras, cómo podría hacerse una modelización de alguno de ellos. [br](Aunque hemos incluido herramientas de diseño en el applet, no es necesario que lo implementes).[/*][/list]
Lateral del Convento de San José
Cruz patada y polígonos regulares
Un elemento religioso muy habitual es la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Cruz_patada]cruz patada[/url], que se trata de una cruz cuyos extremos son más anchos que el centro.[br]El elemento geométrico resultante tiene gran belleza, pero además, su propia construcción está cargada de simbolismo religioso, que puede depender del modelo concreto, pues hay varios.[br][br]En el siguiente applet vemos la construcción de uno de los modelos a partir de elementos matemáticos. Desmarcando la casilla [i]Ver partes[/i], podemos ver la fotografía original. Concretamente, está tomada en la [url=http://www.cronistasoficiales.com/?p=137045]Iglesia de San Francisco de Sales[/url], de Mérida.[br]Tras el applet, tenemos una pequeña descripción textual.
Diseño de esta cruz patada
La cruz que estamos modelizando se basa en un diseño de octógono regular, el cual tiene un significado profundamente religioso, al obtenerse a partir de dos cuadrados, uno girado respecto al otro, significando la unión de lo terrenal y lo divino. Podemos visualizarlos mediante las casillas [i]Cuadrado 1[/i] y [i]Cuadrado 2[/i][list][*]Para crear la cruz, se han quitado del octógono cuatro triángulos equiláteros, obtenidos a partir de los lados del octógono (podemos verlos con la casilla [i]Triángulos exteriores[/i]), que a su vez simbolizan la Trinidad.[br]Esto es lo que hace la forma de "patas" a los brazos de la cruz.[/*][*]Además, para reforzar más la idea anterior de los cuadrados, se han marcado las intersecciones de los dos cuadrados iniciales, formando a su vez nuevos triángulos junto con los lados del octógono que forman parte de la cruz (marcar la casilla T[i]riángulos de la cruz[/i]).[br][/*][*]A su vez, esto nos permite definir dos caras en cada brazo de la cruz, que hemos denominado [i]Lateral 1[/i] y [i]Lateral 2[/i], y que al dibujarlas, dan un efecto 3D a la figura.[/*][*]Por último, se han marcado los segmentos interiores que unen los vértices de los triángulos equiláteros anteriores, formando una nueva cruz interior en la zona central (marcar casilla [i]Centro[/i]).[/*][/list]
Cuestiones
El hecho de construir la cruz a partir de polígonos regulares, la dota de gran simetría.[br][list=1][*]Describe sus elementos de simetría (ejes, centro, rotacional...)[/*][*]Clasifica los diferentes tipos de polígonos que intervienen en la construcción de la cruz.[/*][*]Indica el valor de los ángulos que intervienen en estas figuras.[/*][*]¿Quieres hacer tu propio modelo de Cruz Patada? Si tienes usuario de GeoGebra y subes tu modelo, pon aquí el enlace a tu creación.[/*][/list]
Cuestiones de trigonometría
[size=85](Para resolver las siguientes cuestiones, necesitas tener conocimientos de trigonometría)[br][/size]Supongamos que nos encargan diseñar moldes para grabar las cruces patadas de los bancos de esta iglesia, y que nos dan la altura total que quieren que tengan esas cruces.[br]Por comodidad, denotaremos [i]h[/i] la distancia del centro de la cruz al final de los brazos, de manera que la altura de la cruz será [i]2h[/i].[br][br]Calcula, en función de [i]h[/i]:[br][list=1][*]El ancho de la parte final de cada brazo (lado del octógono).[/*][*]El radio de la circunferencia en la que se inscribe la cruz. Este es el radio mínimo del molde que estamos diseñando.[/*][*]La longitud de los segmentos de los brazos, que llegan hasta los pequeños triángulos de la cruz (en los extremos), y que necesitaremos para dibujar el molde.[/*][*]La longitud de los segmentos que dibujaremos en la zona del centro.[/*][/list]
Imagen original
Cruz patada grabada en los bancos de la [url=http://www.cronistasoficiales.com/?p=137045]Iglesia de San Francisco de Sales[/url] y nuestra señora de la Paz, Mérida (España).