V Ganzrationale Funktionen
Table of Contents
- Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
- 1. Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten
- Übung: Potenzfunktionen
- Lösung und Kontrollaufgaben
- Eigenschaften ganz rationaler Funktionen
- 2. Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
- Nullstellen und Faktorisieren
- 3. Nullstellen und Faktorisieren - Vielfachheit von Nullstellen
- 3. Nullstellen und Faktorisieren - Faktorisierte Form
- Polynomdivision
- Übung: Faktorisieren und Nullstellen finden
- Wiederholung: Quadratische Gleichungen
- Übung: Faktorisieren und Nullstellen finden II
- Lösung zu Faktorisieren und Nullstellen II
- Übung: Von der Nullstelle zur Funktion und wieder zurück
1. Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten
Heute lernen wir eine neue Funktion kennen. [br][br]Vorerst noch eine kleine Wiederholung der Funktionen, die wir schon kennen.
Eine Funktion der Form [math]x\mapsto a\cdot x^n[/math] mit [math]n\in\mathbb{N}[/math] nennt man[color=#38761d][b] Potenzfunktion n-ten Grades[/b][/color].
Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen vom [color=#38761d][b]Koeffizient a[/b][/color] und dem [color=#38761d][b]Exponenten n [/b][/color]ab. Der Exponent bestimmt auch den Grad der Potenzfunktion.[br][br][br]Diese Eigenschaften werden wir nun untersuchen. Mache dir Notizen zu deinen Entdeckungen. Die Ergebnisse tragen wir dann in der Videokonferenz im Hefteintrag zusammen.
Schau dir im Applet zunächst die Graphen von Potenzfunktionen mit verschiedenen geraden Exponenten an.
Beschreibe die Graphen bezüglich ihrer Symmetrie. Ist der Graph überhaupt symmetrisch?
Um die Funktion weiter zu untersuchen, unterteilen wir in positive und negative Koeffizienten.[br][br][br][size=150][size=200][color=#38761d][center][u]a > 0[/u][/center][/color][/size][/size]
Beschreibe den Verlauf des Graphen.
Gib die Wertemenge der Funktion an.
[size=200][color=#38761d][u][center]a < 0[/center][/u][/color][/size]
Beschreibe den Verlauf des Graphen.
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Führe eine [b]analoge Untersuchung[/b] jetzt hier auch für [color=#38761d][b]ungerade Koeffizienten[/b][/color] durch. Die Ergebnisse tragen wir in der Videokonferenz zusammen.
Unterteile auch hier in positive und negative Koeffizienten und beschreibe den Verlauf sowie die Wertemenge der Graphen.
Eine absolute [color=#1155cc][b]Basisübung[/b][/color] ist es zu gegebenen Punkten den Funktionsterm zu bestimmen. Wie immer helfen einem Gleichungen hier weiter.[br][br]Wir starten einfach. Hier ist a schon gegeben, nämlich a = 1.[br][br][color=#38761d]Buch S. 109[/color]
Wie geht man hier vor? Hier findest du die beispielhafte Lösung für Teilaufgabe a).
Eine Gleichung mehr brauchst du, wenn a nicht gegeben ist. [br][br][color=#38761d][br]Buch S. 109[/color]
Hier die beispielhafte Lösung zu Aufgabe a)[br]
"Blanko-Hefteintrag"
Freiwillige Übung
2. Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Wir summieren Potenzfunktionen und erhalten die [color=#38761d][b]Polynomfunktion[/b][/color].[br][br]Übertrage den [color=#1155cc][b]Hefteintrag[/b][/color] und sieh dir das[color=#1155cc][b] Erklärvideo[/b][/color] dazu an.
HE_ganzrationale Funktionen
Erklärvideo
Genauer befassen wir uns noch in einem späteren Kapitel mit dem[color=#38761d][b] Verhalten von Funktionen im Unendlichen[/b][/color]. Jetzt sollst du aber trotzdem den ungefähren Verlauf einer ganzrationalen Funktion erkennen können. Ein kleiner Ausblick auf das Unendliche bietet das untere Beispiel. [br][br]Schau dir im [color=#1155cc][b]Applet[/b][/color] darunter auch ein paar [color=#1155cc][b]ganzrationale Funktionen[/b][/color] an, damit du ein Gefühl für sie bekommst.
Im folgenden Applet kannst du dir Polynomfunktionen (max. bis Grad 4) ansehen. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades erhältst du, wenn du [math]a_4[/math] einfach gleich Null setzt.
Lösung
Rechne hier [color=#1155cc][b]Teilaufgabe a) bis f)[/b][/color]. Du musst nicht den gesamten Term ausmultiplizieren. Nur die höchste Potenz ist für uns hier wichtig.[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 113[/color]
Lösung
Lösungswort
Konzentriere dich in der nächsten Aufgabe auf die[color=#1155cc][b] Teilaufgaben b), c) und d)[/b][/color]. Für c) und d) brauchst du deinen CAS-Rechner.[br][br][b][color=#38761d]Tipp:[/color][/b] Du hast vier Variablen und vier Punkte gegeben und kannst damit 4 Gleichungen aufstellen. Das musst du in deinen CAS füttern.
Lösung
[color=#38761d][b]freiwillige Übung[/b][/color]
3. Nullstellen und Faktorisieren - Vielfachheit von Nullstellen
Du kennst bereits den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen und dem Grad der Polynomfunktion. [br][br]Hier eine kleine Aufwärmung:[br]
Lies dir die obigen Aussagen durch und veranschauliche sie dir eventuell mit einer Skizze. Entscheide, welche der Aussagen wahr sind.
Für unser heutiges Thema sehen wir uns zunächst die dritte Aussage etwas genauer an. Über Graphen von Funktion ersten (linear) und zweiten (quadratisch) Grades kannst du bereits genaue Aussagen treffen. Ab [color=#1155cc][b]ganzrationalen Funktionen dritten Grades[/b][/color] wird das schon schwieriger.[br][br][size=150][b]Skizziere in der folgenden Übung in die Vier Quadrate mögliche Verläufe von ganzrationalen Funktionen dritten Grades. [/b][br][/size][br][b][color=#38761d]Tipp:[/color][/b] Lässt man das Koordinatensystem in der Zeichnung weg, ergeben sich im Allgemeinen vier verschiedene Verläufe von Funktionsgraphen dritten Grades.
mögliche Verläufe für Polynomfunktionen dritten Grades
nützliche Info
Hier erfährst du noch kurz, wie dir der[b][color=#38761d] CAS[/color][/b] bei Polynomfunktionen helfen kann. Dazu gibt es drei wichtige Befehle.
[b][color=#1155cc]menu > 3: Algebra > 4: Nullstellen[/color][/b][br][br]In die Klammern tippst du einfach den Funktionsterm oder die zuvor definierte Funktion, z.B. f(x). Auch hier musst du wieder die jeweilige Variable (Argument) angeben. [br][br][b][color=#38761d]Beispiel: [/color][/b]zeros(3x+x,x)[br][br]Das Ergebnis wird dir in Mengenschreibweise, also mit {...} angegeben.[br][br]Übrigens kannst du genau so die solve-Funktion nutzen und den Term gleich Null setzen.
[b][color=#1155cc]menu > 3: Algebra > 2: Faktorisiere[/color][/b][br][br]In die Klammern tippst du einfach den Funktionsterm oder die zuvor definierte Funktion, z.B. f(x). [br][b][color=#38761d]Beispiel: [/color][/b]factor(3x+x[sup]2[/sup])[br]
[b][color=#1155cc]menu > 3: Algebra > 3: Entwickle[/color][/b][br][br]Dieser Befehl multipliziert für dich aus. In die Klammern tippst du einfach den Funktionsterm oder die zuvor definierte Funktion, z.B. f(x). [br][b][color=#38761d]Beispiel: [/color][/b]expand(x(3+x))[br]
Bis hier hin solltest du bis zur Videokonferenz kommen. In dieser bearbeiten wir in Gruppen das folgende Arbeitsblatt.
Arbeitsblatt: Vielfachheit von Nullstellen
