Lässt sich ein Dreieck[b] eindeutig[/b] aus den angegebenen Bestimmungsgrößen konstruieren, so folgt aus der Übereinstimmung dieser Größen die [b]Kongruenz[/b] zweier Dreiecke.
___ ___ [br]Konstruiere ein Dreieck mit a = BC = 3cm, b = AC =5cm und [math]\alpha[/math] = 30°.[br]Dazu kannst Du folgendermaßen vorgehen:[br] __[br]1. Man zeichnet die Strecke b = AC = 5cm.
2. Man trägt den Winkel [math]\alpha[/math] = 30° in A an b an.
3. Man zeichnet den Kreis k(B; a = 3cm).[br]4. C ist der freien Schnittpunkt von Kreis und freiem Schenkel
Der Kreis um C schneidet den freien Schenkel des Winkels [math]\alpha[/math] zweimal. Damit ergibt die Konstruktion aus den vorgegebenen Bestimmungsgrößen die zwei Dreiecke AB[sub]1[/sub]C und AB[sub]2[/sub]C, die nicht deckungsgleich sind.
Die Konstruktion ist also [color=#ff0000][b]nicht[/b][/color] eindeutig.[br]Die Angabe von zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt, ist anscheinend doch nicht dazu geeignet, zu entscheiden, ob zwei Dreiecke kongruent sind.[br][color=#ff0000][b][br]Folgerung:[/b][/color][br]Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und einem Winkel, der nicht der Zwischenwinkel der gegebenen Seiten ist, übereinstimmen, müssen die Dreiecke [color=#ff0000][b]nicht[/b][/color] kongruent sein.
Verschiebe in der folgenden Abbildung den Punkt R. Dadurch veränderst du die Radiuslänge r des Kreises um C. Dieser entspricht der Dreiecksseite a. [br]Finde heraus, für welche Radiuslängen r es nur einen Schnittpunkt mit dem freiem Schenkel des Winkels [math]\alpha[/math] gibt. Vergleiche das Ergebnis mit der Seitenlänge b.[br][size=85]Hinweis: Durch das Anklicken auf das Pfeilsymbol[img]data:image/png;base64,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[/img] rechts oben im Eck der Abbildung, wird die Abbildung wieder in ihren ursprünglichen Zustand zurückgesetzt.[/size]
Schreibe deine Feststellung hier auf.
[br]Wenn der Radius größer als 5 cm, also länger als die Seite a ist, gibt es nur einen Schnittpunkt.[br][br]Das bedeutet, wenn der gegebenen Winkel an der längeren der beiden gegebenen Seite anliegt, kann es zwei Schnittpunkte geben.[br][br]Umgekehrt formuliert:[br]Wenn der [b]Gegenwinkel zur kürzeren Seite[/b] gegeben ist, kann es zwei Schnittpunkte und somit zwei nicht kongruente Dreiecke geben.[br][size=85](Hinweis: Als Gegenwinkel bezeichnet man den Winkel, der einen Dreiecksseite gegenüberliegt. Hier ist [math]\alpha[/math] der Gegenwinkel zur Seite a.)[/size][br][br]Die Übereinstimmung von [b]zwei Seiten und dem Gegenwinkel zur kürzeren Seite[/b] ist also [b]kein[/b] ausreichendes Kongruenzmerkmal![br][br]Du hast sicherlich auch festgestellt, dass es nicht immer einen Schnittpunkt gibt. Dies ist für kleine Radien der Fall. Grund dafür ist die "Dreiecksungleichung". Diese wirst du nach der Bearbeitung der Aktivität "[b]SsW-Satz[/b]" im diesem Kapitel genauer kennenlernen.[br]
Nimm nun die Arbeitsblätter zur Hand und suche den Punkt [b]"Seite/Seite/Winkel[/b]".[br]Konstruiere hier mit Zirkel und Lineal das erste gesuchte Dreieck, so wie oben beschrieben. [br]Ergänze die beschriebenen Konstruktionsschritte im Konstruktionsplan und vervollständige die beiden folgenden Lücken. [br][br][br]Wenn du dies geschafft hast, bearbeite die Aktivität "[b]SsW-Satz[/b]" in diesem Kapitel.