Einführung Vektorrechnung
Vektorrechnung
Table of Contents
- Punkte im Raum
- Punkte im Raum zeichnen
- Punkte im Raum - die Lage sichtbar machen
- ÜBUNG: Quader durch Schieben der Punkte einzeichnen.
- Vektoren im Raum
- Ortsvektoren
- Verbindungsvektor
- Identisch, invers, parallel, antiparallel
- Identisch, invers, parallel, antiparallel im R3
- Rechnen mit Vektoren
- Vektoraddition
- So addiert man also Vektoren ... eine Zusammenfassung
- Mit Vektoren kann man rechnen! - Teil 1
- Mit Vektoren kann man rechnen! - Teil 2
- Mit Vektoren kann man rechnen! - Teil 3
Punkte im Raum zeichnen
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem auf Karopapier zeichnen
Du findest hier:[br][list][*]Eine Hilfe für das [b]Zeichnen [/b]von Punkten in ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem[/*][*]Eine Darstellung der drei [b]Ebenen[/b][/*][*]Die zwei verschiedenen üblichen Bezeichnungen für die drei [b]Achsen [/b]((x, y, z) oder (x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3)[/sub])[/*][/list][br][b][size=100][size=150]Probiere es aus! [/size][/size][/b][br]Gib verschiedene Koordinaten für den Punkt ein. Verwende auch negative Werte.[br]Verwende die Kontrollkästchen, um die Ebenen anzuzeigen oder die Achsenbeschriftung zu ändern.[br]
Beachte beim Anlegen des Koordinatensystems:
[list][*]Die [b]x-Achse[/b] wird üblicherweise unter einem [b]Verzerrungswinkel von 45°[/b] gegen die Horizontale nach vorne geneigt.[/*][*]Die [b]Skalierung der x-Achse[/b] wird - ähnlich wie beim Schrägbilderzeichnen in der Mittelstufe - "in etwa halbiert" (Faktor ca. 0,7). Das bedeutet: Wenn y- und z-Achse [u]zwei[/u] Kästchen für eine Einheit haben, erhält die x-Achse nur [u]ein[/u] Diagonalkästchen.[br][/*][/list]
Ortsvektoren
Jeder Punkt P wird durch seine x-Koordinate und y-Koordinate genau festgelegt. Der Punkt[br]wird angegeben als P (x/y). Im 3-dimensionalen Raum wird eine z-Koordinate ergänzt P (x/y/z).[br][br]Zu jedem Punkt P gibt es einen [u]Ortsvektor[/u]. Dieser wird als Pfeil dargestellt und beginnt im Ursprung O (eng. Origin) und endet im Punkt P. Ortsvektoren sind somit Verbindungsvektoren vom Punkt O (0/0) und dem jeweiligen Punkt. Für die Angabe von Punkten werden Großbuchstaben und für die Angabe der zugehörigen Ortsvektoren Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber verwendet [math]\vec{p}[/math] ([i]gesprochen:[/i] Vektor p). Alternativ kann der Ortsvektor auch durch Anfangs- und Endpunkt angegeben werden [math]\text{\overrightarrow{OP}}[/math] ([i]gesprochen:[/i] Vektor OP) In der Vektorschreibweise werden die Koordinaten des Punktes untereinenander geschrieben und heißen Komponenten [math]\vec{p}=\binom{x}{y}[/math].[br]Auch hier wird im 3-dimensionalen Raum eine z-Koordinate ergänzt [math]\vec{p}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math].
Aufgabe:
1. Bestimmen Sie den Ortsvektor von Punkt A, indem Sie Anfangs- und Endpunkt des Pfeils zum Ursprung bzw. zum Punkt A bewegen.[br]2. Untersuche mindestens drei Beispiele. Notiere die Koordinaten der Punkte und die dazu gehörigen Ortsvektoren in deinem Notizbuch.
Vektoraddition
Vektoren werden addiert, indem die jeweiligen Komponenten addiert werden. Graphisch lässt sich die Addition zweier Vektoren veranschaulichen, indem einer der Vektoren so verschoben wird, dass sein Startpunkt mit dem Endpunkt des anderen Vektors zusammenfällt.[br]Es können nur Vektoren addiert werden, die die gleiche Anzahl an Komponenten haben.
Aufgabe:
Addieren Sie die Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] graphisch, indem einer der Vektoren entsprechen verschoben wird.[br]Vergegenwärtigen Sie sich die Kommutativität der Vektoraddition, indem Sie beide Vektoren verschieben.