Winkel zweier Vektoren
Wie hängt das Skalarprodukt vom Winkel ab?
Aufgabe 1
Berechne [math]\left|\vec{b'}\right|[/math] aus [math]\left|\vec{b}\right|[/math] und [math]\varphi[/math]. ([i]Verwende die passende Winkelfunktion im rechtwinkligen Dreieck![/i])[br]Unterscheide [math]\varphi \le 90°[/math] und [math]\varphi \gt 90°[/math].
Für das Skalarprodukt gilt dann:[br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b'}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cdot cos\ \varphi[/math].[br][br]Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt also nur von ihrem Betrag und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel ab:[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot cos\ \varphi}[/math].[br][br]Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man daher mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen: [br][math]\textcolor{blue}\bf\it{cos\ \varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right| }}[/math].[br]
Aufgabe 2
Gegeben ist das Parallelogramm PQRS: P = (-4 | 2), Q = (2 | 1), S = (-1 | 5).[br]Berechne den Winkel [math]\alpha[/math].