Wie immer, wenn man Nullstellen berechnet, muss man auch bei quadratischen Funktionen die Funktionsgleichung gleich Null setzen, z.B.[math]0=x_N^2+4\cdot x_N+3[/math].[br]Bei quadratischen Funktionen können dann drei unterschiedliche Fälle auftreten:[br][list=1][*]Es gibt 2 Nullstellen - wie oben bei den Funktionen [math]f(x)[/math] und [math]k(x)[/math][/*][*]Es gibt eine (doppelte) Nullstelle - wie oben bei den Funktionen [math]g(x)[/math] und [math]j(x)[/math][br][/*][*]Es gibt keine Nullstelle - wie oben bei den Funktionen [math]h(x)[/math] und [math]i(x)[/math][/*][/list]Warum das so ist, lässt sich schön an den oben abgebildeten Funktionsgraphen sehen.[br]

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in die Form [math] 0=a\cdot x^2 + b\cdot x+c[/math] umstellen lässt. Dabei sind [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] beliebige Zahlen und das [math]x[/math] ist die Variable, die wir ausrechnen müssen.[br][br]Ein einfaches Umstellen der Gleichungen, wie beiden linearen Funktionen, ist hier nur in wenigen Sonderfällen möglich. Für das Lösen so einer Gleichung gibt es drei Methoden:[br][list=1][*]die pq-Formel[/*][*]die Mitternachtsformel[/*][*]die quadratische Ergänzung[/*][/list][br]Aber kommen wir zuerst zu den Sonderfällen:

Diese Gleichungen kann man durch einfaches Umstellen und Wurzel ziehen lösen:[br][b]Beispiel1:[/b][br][math]2\cdot x^2 - 32=0 \qquad \Big\vert +32[/math][br][math]\Rightarrow 2\cdot x^2=32 \qquad\Big\vert :2[/math][br][math]\Rightarrow x^2=16\qquad \Big\vert \sqrt{\quad}[/math][br][math]\Rightarrow\underline{\underline{x_{1,2}=\pm4}}[/math][br]Man beachte, dass es hier zwei unterschiedliche Lösungen gibt: [math]x_1=4[/math] und [math]x_2=-4[/math] . Die zweite Lösung wird oft vergessen.[br][br][b]Beispiel 2:[/b][br][math]x^2 +9 = 0\qquad\Big\vert -9[/math][br][math]x^2 = -9\qquad\Big\vert \sqrt{\quad}[/math][br][math]x = \sqrt{-9}[/math] Diese Gleichung hat [b][color=#980000]keine Lösung[/color][/b], weil es keine Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt. Es gibt also keine Zahl [math]x[/math], für die die oben stehende Aufgabe eine richtige Lösung hat.

[color=#980000]Ein Produkt [/color][math]\fgcolor{#980000}{P=A\cdot B\cdot C...}[/math] [color=#980000]ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren[/color] [math]\fgcolor{#980000} A,[/math][math]\fgcolor{#980000}B,[/math][math]\fgcolor{#980000}C[/math][color=#980000]... gleich Null ist.[/color]

Bei Gleichungen, die aus sogenannten Linearfaktoren bestehen (das sind Klammern der Form [math](x-a)[/math], wobei [math]a[/math] eine beliebige Zahl ist), kann man den Satz vom Nullprodukt verwenden. Das schöne ist, dass man die Lösung hier gar nicht ausrechnen muss, man kann sie direkt ablesen.[br][b]Beispiel 1:[/b][br][math]3\cdot(x-4)\cdot(x+1)=0[/math][br]Dies ist eine Gleichung aus den Faktoren [math]3[/math], [math](x-4)[/math] und [math](x-1)[/math].[br]Die [math]3[/math] ist eine Zahl ungleich Null, aber die beiden Klammern können Null werde: Wie man leicht sieht, ist die erste Klammer gleich Null, wenn [math]x=4[/math] und die zweite Klammer ist gleich Null, wenn [math]x=-1[/math] (man beachte die im Vergleich zur Klammer umgekehrten Vorzeichen!)[br]Also hat die Gleichung [math]3\cdot(x-4)\cdot(x+1)=0[/math] die Lösungen [math]\underline{\underline{x_1=4}}[/math] und [math]\underline{\underline{x_2=-1}}[/math][br][b]Beispiel 2:[/b][br][math]3\cdot x\cdot(x-7)=0[/math][br]Hier kann man ohne Rechnung aus dem Satz vom Nullprodukt schließen, dass die Gleichung genau dann stimmt, wenn [math]\underline{\underline{x=0}}[/math] oder wenn [math]\underline{\underline{x=7}}[/math].[br][b]Beispiel 3:[/b][br][math]5\cdot x^2+15\cdot x=0\qquad\Big\vert[/math] [math]5\cdot x[/math] ausklammern:[br][math]5\cdot x\cdot(x+3)=0[/math][br]Für den Rest der Lösung reicht wieder mit der Satz vom Nullprodukt: [math]\Rightarrow \underline{\underline{x_1=0}}[/math] und [math]\underline{\underline{x_2=-3}}[/math]