Die natürliche Exponentialfunktion
Ableitung der Exponentialfunktion und Entdeckung der Euler'schen Zahl e
Table of Contents
- Ableitung von Exponentialfunktionen
- Vermutung zur Ableitung
- Eigenschaften der Ableitung
- Die natürliche Exponentialfunktion
- Ableitungen von aˣ vergleichen
- Die Euler'sche Zahl e
Vermutung zur Ableitung
Ableitung von Exponentialfunktionen
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math].[br][br]Zunächst soll es um die [u]Ableitung[/u] dieser Funktion gehen. Durchlaufen Sie dazu folgende Schritte mithilfe des GeoGebra-Applets:[br][list=1][*]Schritt: [b]Wählen [/b]Sie individuell Werte von a und c.[/*][*]Schritt: [b]Notieren [/b]Sie eine Vermutung, wie eine Ableitungsfunktion von der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] lauten könnte. (Dezimalzahlen bitte mit Punkt eingeben, z. B. 1.5)[/*][*]Schritt: [b]Überprüfen [/b]Sie Ihre Vermutung [b]graphisch[/b], indem Sie den Ableitungsgraphen anzeigen (über das Kontrollkästchen aktivieren).[/*][/list]
Vermutlich stimmt Ihre Vermutung noch nicht mit dem korrekten Ableitungsgraphen überein, falls doch: direkt weiter zu 2. Fall. [br][list=1][*][u]Fall "Stimmt nicht überein": [/u][b]Versuchen [/b]Sie Ihre Vermutung immer [b]weiter zu verbessern[/b], sodass sie möglichst genau mit dem angezeigten Ableitungsgraphen übereinstimmt.[br][br]--> Geschafft? --> weiter zu 2. Fall.[br][br][/*][*][u]Fall "Stimmt überein"[/u]: BRAVO! Aber ob das nicht Zufall war? [b]Probieren[/b] Sie es nochmal mit einer anderen Wahl von a und c. [/*][/list][br]An dieser Stelle sollten Sie es an mindestens zwei verschiedenen Funktionen [br][math]f\left(x\right)[/math] probiert haben. [b]Notieren [/b]Sie sich die beiden Funktionen und die zugehörigen (ausprobierten) Ableitungsfunktionen.
Ableitungen von aˣ vergleichen
[b]Ausgangspunkt[/b][br][br]Auf der vorherigen Seite haben Sie gesehen: Die Ableitung von [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math] ist [math]f'\left(x\right)=c\cdot \ln\left(a\right)\cdot a^x[/math].[br][br]Im Folgenden schauen wir uns die Funktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] an, also mit [math]c=1[/math]. Die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] ist damit gegeben durch [math]f'\left(x\right)=\ln\left(a\right)\cdot a^x[/math].