Wenn eine Gleichung mit einer Matrix verwendet wird, dann ist das immer eine kurze Schreibweise für ein Gleichungssystem. Bei der Materialverflechtung gab es zum Beispiel die Gleichung [math]\vec{r}=\mathbf{RE}\cdot\vec{p}[/math]. [br]Ein Zahlenbeispiel wäre: [math][br]\left(\begin{array} {l}170\\250\\225\end{array}\right) =[br]\left(\begin{array} {lll} 10&20&10\\15&25&20\\10&15&30\end{array}\right)\cdot [br]\left(\begin{array} {l} E_x\\E_y\\E_z \end{array}\right)[br][/math][br]Das entspricht dem Gleichungssystem: [br][math][br]\begin{array}{llll}[br]10\cdot E_x&+20\cdot E_y&+10\cdot E_z&=170\\[br]15\cdot E_x&+25\cdot E_y&+20\cdot E_z&=250\\[br]10\cdot E_x&+15\cdot E_y&+30\cdot E_z&=225\\[br]\end{array}[br][/math][br]So eine Aufgabe haben wir bisher mit dem Gauß-Algorithmus oder mit einer [b]inversen Matrix[/b] gelöst.[br]Aber in vielen Fällen [b][i]gibt es gar keine inverse Matrix[/i][/b], zum Beispiel immer dann, wenn die Anzahl der Rohstoffe nicht gleich der Anzahl der Endprodukte ist, also [i]wenn die Koeffizientenmatrix nicht quadratisch ist[/i] - in der Realität also fast immer. [br][br]Es gibt auch Gleichungssysteme, die nicht eine Lösung haben, sondern unendlich viele. Andere Gleichungssysteme wiederum sind unlösbar, sie haben gar keine Lösung.[br][br]Um auch solchen Fälle zu untersuchen, müssen wir das Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix aufschreiben und es entweder mit dem [b]Gauß-Algorithmus[/b] oder mit der CAS-Anweisung [b]rref(M)[/b] möglichst in eine Einheitsmatrix transformieren. In Geogebra heißt die entsprechende Anweisung [b]Treppennormalform(M)[/b], wobei das [b]M[/b] jeweils für die erweiterte Koeffizientenmatrix steht.[br][br]Es ist also wichtig, ein Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix schreiben zu können und es ist auch wichtig, aus einer erweiterten Koeffizientenmatrix wieder ein Gleichungssystem zu erstellen. Wie das geht, kann man[b] [color=#1e84cc][url=https://www.geogebra.org/m/eqth9rhg]hier[/url][/color] [/b]nachschlagen und üben.

Der[b] [color=#980000]Rang einer Matrix[/color] [/b]ist [b]die Anzahl der Zeilenvektoren, bei denen nicht jedes Element gleich Null ist[/b].[br][br]In einer erweiterten Koeffizientenmatrix gibt es immer eine Spalte mehr, als es Variablen gibt. Wenn solche Matrizen in die "Treppennormalform" gebracht werden, dann entstehen Matrizen wie die folgenden:[br][br][b]Beispiel 1[/b]:[br][math][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&0&0&5\\[br]0&1&0&-3\\[br]0&0&1&8[br]\end{array} \right)[br][/math] Daraus folgt, dass es genau eine Lösungsmenge für dieses Gleichungssystem gibt, und zwar [math]x=5[/math], [math]y=-3[/math] und [math]z=8[/math]. [br][br][b]Der [color=#980000]Rang dieser Matrix[/color] ist gleich der Anzahl der Variablen[/b]. Daher gibt es genau eine Lösung.[br][br][b]Beispiel 2[/b]:[br]Es kann auch ein Ergebnis heraus kommen, das so aussieht:[br][math]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&0&0&5\\[br]0&1&2&3\\[br]0&0&0&0[br]\end{array} \right)[/math][br]Hier ist die letzte Zeile gleich Null. [b][br]Der [color=#980000]Rang dieser Matrix[/color] ist gleich 2 und damit kleiner als die Anzahl der Variablen[/b]. In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen. [br][br]In diesem Beispiel muss [math]x=5[/math] sein, und für [math]y[/math] und [math]z[/math] sind alle Werte eine Lösung, die die Gleichung [math]y+2\cdot z=3[/math] erfüllen. Das könnte [math]y=3[/math] und [math]z=0[/math] sein, aber auch [math]y=-1[/math] und [math]z=2[/math] und es gibt unendlich viele weitere Lösungen.[br][br][b]Beispiel 3[/b]: [br]Auch folgendes kann die Treppennormalform eines Gleichungssystems sein:[br][math]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&0&0&0\\[br]0&1&0&0\\[br]0&0&1&0\\[br]0&0&0&1[br]\end{array} \right)[/math][br][b]Der [color=#980000]Rang dieser Matrix[/color] ist größer als die Anzahl der Variablen.[/b] In diesem Fall gibt es [b][i][color=#980000]keine[/color] Lösung[/i][/b]. [br][br]Wird die letzte Zeile wieder als Gleichung geschrieben, dann heißt diese [math]0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=1[/math]. Das ist ein [b]mathematischer Widerspruch[/b], denn das heißt nichts anderes als [math]0=1[/math]. Wenn beim Umformen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems ein mathematischer Widerspruch erscheint, dann heißt das: Es gibt keine Lösung.[br][br]

Das folgende Applet erstellt erweiterte Koeffizientenmatrizen aus Zufallszahlen. Mit dem [color=#1e84cc][b][url=https://www.geogebra.org/m/hzvfdgtp]Gauß-Algorithmus[/url][/b][/color], oder einem CAS-Taschenrechner (mit der Anweisung [i][b]rref()[/b][/i] ) oder mit Geogebra (mit der Anweisung [i][b]Treppennormalform()[/b][/i] ) kann man die Koeffizientenmatrizen so umformen, dass sie die [i][b]Treppennormalform[/b][/i] bilden, d.h. dass auf der linken Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch Nullen und Einsen stehen (siehe Beispiele 1-3 unten). [br][br]a) Bestimmen Sie die [i][b]Anzahl der Variablen[/b][/i]. [br]b) Berechnen Sie die [i][b]Treppennormalform[/b][/i] und bestimmen Sie den[i][b] Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix[/b][/i].[br]c) Schreiben Sie die Treppennormalform [i][b]als Gleichungssystem[/b][/i] auf. [br]d) Schreiben Sie dann auf, [i][b]wie viele Lösungen[/b][/i] es gibt und wenn möglich auch welche. Wenn mehrere Lösungen möglich sind, dann bestimmen Sie mindestens zwei verschiedene Lösungen.[br][br]Zur Überprüfung des eigenen Ergebnisses, kann man sich die Treppennormalform auch anzeigen lassen.

[list=1][*]Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem [color=#980000][b]genau eine Lösung[/b][/color].[/*][*]Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem [color=#980000][b]unendlich viele Lösungen[/b][/color].[/*][*]Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix größer als die Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem [color=#980000][b]keine Lösung[/b][/color].[br][/*][/list]