Bei der Internetrecherche zu Zerlegungen fand ich die Zerlegung eines Quadrats, das sich zum regelmäßigen Fünfeck verwandelt [[color=#0000ff]By Ad Huikeshoven - Own work, CC BY-SA 4.0, [/color][color=#0000ff][url=https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=145519248]https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=145519248[/url][/color]].[br][br]Ich gehe bei der Darstellung dieser Zerlegung vom Fünfeck aus.[br]Wenn man die Umwandlung vom Fünfeck zum Quadrat und zurück ausführt, kann man folgendes feststellen:[br][list][*][math]Q[/math] halbiert die Strecke [math]\overline{FC}[/math], [math]K[/math] halbiert die Strecke [math]\overline{EI}[/math].[/*][*]Die Strecken [math]\overline{KS}[/math] und [math]\overline{LT}[/math] klappen sich zu einer vollen Seitenlänge auf, sie sind gleich lang.[/*][*]Die fünf Strecken [math]\overline{EK}[/math], [math]\overline{KI}[/math], [math]\overline{IJ}[/math], [math]\overline{JF}[/math] und [math]\overline{JD}[/math] müssen alle dieselbe Länge haben.[/*][*]Das grüne Viereck muss ein gleichschenkliges Trapez sein.[/*][*]Das blaue Dreieck ist gleichschenklig mit Basiswinkeln von 36°.[/*][*]Das Dreieck [math]IFJ[/math] ist gleichschenklig mit Basiswinkeln von 72°.[/*][/list][br]Folgerungen:[br]Die Dreiecke [math]RLT[/math] und [math]KSQ[/math] sind kongruent. [br][math]I[/math] und [math]J[/math] liegen auf der Geraden [math]AD[/math]. Das Dreieck [math]JFD[/math] ist gleichschenklig mit Basiswinkeln von 18°.[br]Daher ist [math]F[/math] der Mittelpunkt von [math]\overline{EC}[/math] und [math]Q[/math] der Mittelpunkt von [math]\overline{FC}[/math]. Mit der Längeneinheit [math]1\text{ LE = Seitenlänge des Fünfecks}[/math] gilt:[br]Weil [math]\left|\overline{AQ}\right|=\small\frac{1}{8}\normalsize\sqrt{70+18\sqrt{5}}\text{ LE}\approx1,3124954\text{ LE}[/math] geringfügig länger ist als die Seite des flächengleichen Quadrats [math]q=\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt[4]{25+10\sqrt{5}}\text{ LE}\approx1,3116697\text{ LE}[/math], liegt der Punkt [math]R[/math] nicht auf [math]A[/math], sondern etwas weiter rechts (Abstand [math]0.00119852636\text{ LE}[/math]).[br][img]https://www.geogebra.org/resource/j7wkqmk3/eci7uo4MsYoTKWTk/material-j7wkqmk3.png[/img][br]Wenn Sie die Appletfläche stark zoomen, lassen sich diese beiden Punkte getrennt wahrnehmen. Auch in der Form des Quadrats ist in der starken Vergrößerung zu erkennen, dass die Teile an der oberen linken Kante auf Grund der genauen Konstruktion exakt zusammenpassen.[br][br]