Auf dieser Seite wird kurz gezeigt, wie ein Quadrat so zerlegt werden kann, dass dessen Teile zu einem Sechseck zusammengefügt werden können. Die Konstruktion eines 30°-Winkels ist bereits auf im [b]Kapitel II.2.[/b] ([color=#0000ff][i]Umwandlung eines Quadrats zum gleichseitigen Dreieck[/i][/color]) dargestellt, hier wird darauf verzichtet.[br][br]Der Punkt [math]E[/math] liegt auf der Quadratseite [math]\overline{AD}[/math] und ist innerhalb gewisser Grenzen verschiebbar (probieren Sie es im Applet aus). Mit dem grünen Dreieck, dessen spitzer Winkel 30° beträgt, wird der Punkt [math]M[/math] gefunden. Er ist Mittelpunkt eines Halbkreises über der Strecke [math]\overline{EG}[/math], welcher [math]\overline{BC}[/math] im Punkt [math]H[/math] schneidet ([math]G[/math] wird nicht benötigt und dient nur zur Veranschaulichung des Kathetensatzes).[br]Alle eingezeichneten Winkel haben eine Größe von 30°. Aus [math]\frac{g}{2}=\sin(30°)\cdot s=\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot s[/math] folgt [math]g^2=3s^2[/math].[br]Im Dreieck [math]EGH[/math] gilt nach dem Kathetensatz [math]g^2=\text{|}\overline{EH}\text{|}^2=\text{|}\overline{EG}\text{|}\cdot a=\frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot{a}=\frac{2a^2}{\sqrt{3}}=3s^2[/math]. Lösen wir die letzte Gleichung nach [math]a^2[/math] auf, erhalten wir für den Flächeninhalt des Quadrats [math]\mathcal{A}=a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2[/math]. Letzteres ist die Darstellung für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge [math]s[/math], die mit dieser Konstruktion gewonnen wurde. Damit ist dann [math]g=\text{\left|\overline{EH}\right|}[/math] der Abstand gegenüberliegender Seiten des Sechsecks.[br][br]Wenn das Kontrollkästchen [i][color=#9900ff]Aufteilung[/color][/i] aktiviert wird, werden die Hilfslinien der Konstruktion ausgeblendet. Die dann eingeblendeten Punkte [math]K[/math] und [math]L[/math] sind wie folgt festgelegt: [math]K[/math] ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von [math]\overline{EH}[/math] mit der Seite [math]\overline{CD}[/math] und [math]L[/math] liegt so auf der Seite [math]\overline{AB}[/math], dass [math]\left|\overline{AL}\right|=\left|\overline{DK}\right|[/math] gilt.