等角共役点

Bunryu Kamimura, Feb 21, 2016

三角形の等角共役点は、二つの心を結びつける。 等角共役点とは何かから、それが双曲線を生み出すまでを調べてみよう。

Table of Contents

  1. 等角共役点
    1. 等角共役点
    2. OとHは等角共役点
    3. 等角共役点OHGK
    4. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
    5. 類似中線の性質
    6. ９点円の拡張(垂足円）
    7. コスニタ点と９点円の中心
    8. ワトソンの定理
    9. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
    10. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡
    11. 中の定理
    12. 外心と垂心は等角共役の意味
  2. 等角変形
    1. 等角変形
    2. オイラー線の等角共役点とジェラベク双曲線
    3. Na+GeとIOの交点
    4. キーペルト双曲線になる直線
    5. フォイエルバッハ双曲線になる直線
    6. ジェラベク双曲線になる直線
    7. OIとナーゲル点とジェルゴンヌ点を結ぶ直線の交点
    8. 等角変形O
  3. 等角変形と等距変形
    1. 等角変形と等距変形の６直線
    2. 等角等距変形双曲線
    3. 三角形の直角双曲線のまとめ
    4. 三角形の垂足円と足楕円（二次曲線）
    5. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点

1.

等角共役点

等角共役点とは何か。 どの心とどの心が等角共役点か。

  • 1. 等角共役点
  • 2. OとHは等角共役点
  • 3. 等角共役点OHGK
  • 4. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
  • 5. 類似中線の性質
  • 6. ９点円の拡張(垂足円）
  • 7. コスニタ点と９点円の中心
  • 8. ワトソンの定理
  • 9. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
  • 10. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡
  • 11. 中の定理
  • 12. 外心と垂心は等角共役の意味

1.1.

等角共役点

△ABCと一点Pとがあるとき、AP，BP，CPの各頂点に関する等角共役線（角の二等分線に対して対称な二直線）を作れば、それらはまた一点P'で会する。 PとP'とを互いに等角共役点という。（幾何学大辞典　岩田至康） 内心の等角共役点は内心自身である。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.7.

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1.8.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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2.

等角変形

まずは等角変形の意味を考える。 そして、等角変形で直線が双曲線になる。 すると、オイラー線の意味が浮かび上がる。 　　直線上に一点を取る。 　　その点の等角共役点はどういう動きをするのか？ 　　不思議なことにその軌跡は円錐曲線を描く。 　　つまり、等角共役点は直線から円錐曲線を生み出す。 これを「等角変形」という。

  • 1. 等角変形
  • 2. オイラー線の等角共役点とジェラベク双曲線
  • 3. Na+GeとIOの交点
  • 4. キーペルト双曲線になる直線
  • 5. フォイエルバッハ双曲線になる直線
  • 6. ジェラベク双曲線になる直線
  • 7. OIとナーゲル点とジェルゴンヌ点を結ぶ直線の交点
  • 8. 等角変形O

2.1.

等角変形

△ABCにおいてPとP'を等角共役点とする。PがSなる図形を描くとき、P’が描く図形S’をSの等角変形という。 キーペルト点の軌跡はOKの等角変形であり、キーペルト双曲線である。 刈屋点の軌跡は、OIの等角変形であり、フォイエルバッハ双曲線である。 OHの等角変形はジェラベク双曲線である。 DEを外接円に接するようにすると、双曲線が放物線になり、外接円の外だと楕円になる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.7.

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2.8.

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3.

等角変形と等距変形

等角変形と等距変形を比べてみると、そこからきれいな対称性が浮かび上がる。

  • 1. 等角変形と等距変形の６直線
  • 2. 等角等距変形双曲線
  • 3. 三角形の直角双曲線のまとめ
  • 4. 三角形の垂足円と足楕円（二次曲線）
  • 5. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点

3.1.

等角変形と等距変形の６直線

等角変形が３双曲線になる３直線と等距変形が３双曲線になる３直線の関係
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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