Im Geradenvektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] wird eine [i]orientierte[/i] Basis [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] mit [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0, \mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math] ausgewählt, [br]für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen: [br][list][br] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline \bullet & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline \end{tabular}[/math][br][/list][br][br][br][br][size=85]Die Tabelle der Lie-Produkte ergibt sich aus den Entwicklungsregeln (3.4). [br]Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] erreicht man [br]durch die komplexe Parametrisierung:[/size][br][list] [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p} _\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math] [/list][size=85]Die Ebenen durch die Berührgerade [math]\mathbf\vec{p} _\infty[/math] erzeugen ein parabolisches Kreisbüschel. [br]Die Vektoren [math]\mathbf\vec{p} _{-1}:=\mathbf\vec{p}(-1),\, \mathbf\vec{p}_0,\, \mathbf\vec{p} _{1}:=\mathbf\vec{p}(1)[/math] liegen auf einem der Kreise des Büschels, der [i]x-Achse[/i] des [br][i][b]euklidischen Koordinatensystems[/b][/i] (KOS).[/size][br][br][size=85]Die Berührgeraden [math]\mathbf\vec{p}(z)[/math] schneiden wegen [math]\mathbf\vec{p}(z)\bullet\mathbf\vec{p} _\infty\in\mathbb{R} [/math] die Berührgerade [math]\mathbf\vec{p} _\infty[/math], der von [math]\mathbf\vec{p} _\infty \mbox{ und } \mathbf\vec{p}(z)[/math] [br]erzeugte Kreis liegt im parabolischen Büschel, die Berührgerade [math]\mathbf\vec{p}(z)[/math] zeigt also in x-Richtung. [br]Die Vektoren [math]-i\cdot\mathbf\vec{p} _\infty,\, i\cdot\mathbf\vec{p} _{-i}:=i\cdot\mathbf\vec{p}(-i),\, i\cdot\mathbf\vec{p}_0,\, i\cdot\mathbf\vec{p} _{i}:= i\cdot\mathbf\vec{p}(i)[/math] bilden die [i]y-Achse[/i] und sie zeigen in y-Richtung.[br]Die Geradenvektoren [math]\mathbf\vec{g}_0,\,\, \mathbf\vec{g}_1:=-\frac{1}{2}\cdot\left[\,\mathbf\vec{p} _{-1}\,,\,\mathbf\vec{p}_1\,\right],\, \mathbf\vec{g}_i:=\frac{1}{2}\cdot\left[\,\mathbf\vec{p} _{-i}\,,\,\mathbf\vec{p}_i\,\right][/math] sind eine orthogonale Basis von [math]\large\mathcal{G}[/math]: [/size][br][list][*][size=85]es gilt[/size] [math]\mathbf\vec{g}_j\bullet\mathbf\vec{g}_k=\left\{ \begin{matrix} -1\mbox{ für }j=k \\ \;\;0\mbox{ für }j\ne k \end{matrix} \mbox{ für } j,k\in\left\{ 0,1,i\right\} \right\}[/math]. [/*][*][size=85]Die Vektoren[/size] [math] \mathbf\vec{e}_1:=i\cdot\mathbf\vec{g}_1,\;\mathbf\vec{e}_2:=i\cdot\mathbf\vec{g}_0,\;\mathbf\vec{e}_3:=i\cdot\mathbf\vec{g}_i[/math] [size=85]sind eine orientierte ON-Basis:[/size] [math]\mathbf{Det}(\mathbf\vec{e}_1,\;\mathbf\vec{e}_2,\;\mathbf\vec{e}_3)=1[/math][br][/*][/list][size=85]Die Geraden [math]\mathbf\vec{e}_1,\;\mathbf\vec{e}_2,\;\mathbf\vec{e}_3[/math] liegen in einer elliptischen Ebene außerhalb der Möbiusquadik, [br]die polaren Geraden [math]\mathbf\vec{g}_0,\,\, \mathbf\vec{g}_1,\, \mathbf\vec{g}_i[/math] schneiden sich innerhalb der Möbiusquadrik in einem Punkt.[br]Für zwei Möbiuspunkte [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math], repräsentiert durch ihre Berührgeraden [math]\mathbf\vec{p}(z_1),\;\mathbf\vec{p}(z_2)[/math] ist[/size][br][list][*][math]\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)=\frac{(z_1-z_2)^2}{2}[/math] [/*][*][size=85]und für die Verbindungsgerade[/size] [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2):=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}(z_1)\,,\,\mathbf\vec{p}(z_2\,\right]}{\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)}=\frac{1}{z_1-z_2}\left(\, z_1\cdot z_2\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+\left( z_1+z_2\right)\cdot\mathbf\vec{g}_0+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\,\right)[/math] [br] [size=85]gilt [/size] [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\bullet\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)=-1[/math]. [/*][/list][size=85]Wir notieren noch die Umrechnungsformeln: [/size][list][*][math]\mathbf\vec{p}_\infty=-\mathbf\vec{g}_1+i\cdot\mathbf\vec{g}_i=i\cdot\mathbf\vec{e}_1+\mathbf\vec{e}_3\mbox{ und } \mathbf\vec{p}_0=\frac{1}{2}\left( \mathbf\vec{g}_1+i\cdot\mathbf\vec{g}_i \right)=\frac{1}{2}\left( i\cdot\mathbf\vec{e}_1+\mathbf\vec{e}_3 \right) [/math]. [/*][/list][size=50][right]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/right][/size]