[br][table][tr][td][color=#ff0000][b][u]1. példa[/u][/b][br][/color]Szerkesszünk adott körhöz adott külső pontra illeszkedő érintőt.[/td][/tr][/table]

[color=#ff0000][b][u]Megoldás[/u][/b][br][br][/color]Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, azért Thalész tételéből adódóan a kör O középpontját az adott P külső ponttal összekötő szakasz mint átmérő fölé rajzolt kör metszi ki az érintési pontot az adott körből. [br][br][br]Mivel az OP szakasz fölé írt Thalész-kör két pontban metszi az adott kört, ezért két megfelelő érintőt kapunk.

[color=#ff0000]A szerkesztés menete: [br][/color]

[table][tr][td][table][tr][td][b]1.[/b][/td][td]Az OP szakasz F felezőpontjának szerkesztése.[/td][/tr][tr][td][b]2.[/b][/td][td]Az F középpontú, OF = FP sugarú kör megrajzolása. A két kör metszéspontjai E 1 és E 2 .[/td][/tr][tr][td][b]3.[/b][/td][td]A PE 1 és PE 2 egyenesek megrajzolása.[/td][/tr][/table]érintőszakaszokA PE 1 és PE 2 szakaszokat érintőszakaszoknak nevezzük.A megoldás alapján PE 1 = PE 2 , ezzel beláttuk a következő tételt:[/td][td][/td][/tr][/table][table][tr][td][u][b][color=#ff0000]Tétel:[/color][/b][/u] A körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.[/td][/tr][/table]

[color=#ff0000][u][b]2. példa[br][/b][/u][/color]Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egy oldalának két végpontja és az ezekből induló magasságok talppontjai egy körre illeszkednek.

[u][color=#ff0000][b]Megoldás[/b][br][br][/color][/u]Emlékeztetünk arra, hogy a háromszög magasságának talppontja a magasságvonal és a megfelelő oldal egyenesének metszéspontja. [br][br]Az ABT a és ABT b háromszögek olyan derékszögű háromszögek, amelyeknek közös átfogója a háromszög AB oldala. Ezen két derékszögű háromszög körülírt köre Thalész tételének megfordításából adódóan ugyanaz a kör, nevezetesen az AB oldal mint átmérő fölé írt Thalész-kör. [br][br]A példa állítása tehát a Thalész-tétel megfordításának következménye.

[b][u][color=#ff0000]3. példa[/color][/u][/b][br]Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszögbe beírt kör átmérőjének hossza a két befogó hosszának összegénél az átfogó hosszával kisebb.

[b][u][color=#ff0000]Megoldás[br][/color][/u][/b]Az 1. példa megoldása során bebizonyítottuk, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.[br][br]CE 1 = CE 2 = r ; E 2 A = AE 3 = x ; E 3 B = BE 1 = y .[br][br]A két befogó hosszának összege:[br]a + b = x + y + 2 r . (1)[br]Az átfogó hossza:[br]c = x + y . (2)(2)-t (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy[br][br]2 r = a + b – ca + b = c + 2 r ,[br][br]és ezt akartuk bizonyítani.