[size=150]복소수의 곱셈은 허수단위 [math]\large i[/math]를 문자처럼 생각하여 전개하고 [math]\large i^2=-1[/math]임을 이용하여 다음과 같이 계산한다.[br][center][math]\large \begin{array}{ll}\left(1+4i\right)\left(3+2i\right)&=3+2i+12i+8i^2\\&=3+\left(2+12\right)i+8\times\left(-1\right)\\&=-5+14i\end{array}[/math][/center][br]일반적으로 복소수의 곱셈은 다음과 같이 계산한다. [math]\large a[/math], [math]\large b[/math], [math]\large c[/math], [math]\large d[/math]가 실수일 때[br][center][math]\large \left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i[/math][/center][/size]

[size=150]복소수 [math]\large z=a+bi[/math]에 대해, [math]\large z[/math]의 절댓값은[br][center][math]\large \left|z\right|=\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}[/math][/center]로 정의한다. 다시 말하면 [math]\large \left|z\right|[/math]는 점 [math]\large z[/math](또는 이에 대응하는 복소평면 위의 점 [math]\large {\rm{P}}\left(z\right)[/math])에서 원점까지의 거리이다.[/size]

[color=#ff0000]※ 본 내용에 대해 잘 이해하려면 2학년 과목인 [b]대수[/b]에서 학습하는 일반각과 호도법, 삼각함수에 대해 알고 있어야 합니다.[/color][br][br][size=150]복소평면 위에 [math]\large 0[/math]이 아닌 복소수 [math]\large z=a+bi[/math]([math]\large a[/math], [math]\large b[/math]는 실수)가 나타내는 점을 [math]\large {\rm{P}}\left(a,b\right)[/math], 원점을 [math]\large \rm O[/math]라 할 때, 선분 [math]\large \rm OP[/math]가 [math]\large x[/math]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [math]\large \theta[/math]라 하면[br][center][math]\large a=\left|z\right|\cos\theta[/math], [math]\large b=\left|z\right|\sin\theta[/math][/center]이므로, 복소수 [math]\large z=a+bi[/math]는[br][center][math]\large z=\left|z\right|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)[/math][/center]와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라 한다. 이때, [math]\large \theta[/math]를 복소수 [math]\large z[/math]의 편각이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.[br][center][math]\large \theta=\arg\left(z\right)=\arg\left(a+bi\right)[/math][/center][math]\large \arg\left(z\right)[/math]의 값은 일반각으로 유일하지 않고, [math]\large 2\pi[/math]의 정수배만큼 차이가 난다.[br][br]지오지브라에서도 복소수의 편각을 구할 수 있으나, [math]\large -180\degree[/math] 초과 [math]\large 180\degree[/math] 이하의 값으로 계산되어 나타난다.[/size]

[size=150]아래 지오지브라 애플릿에는 복소수 [math]\large z_1[/math]가 만들어져 있으며, 복소평면 위에 나타나있다. 입력 부분(+ 표시 옆 칸)에 다음과 같이 입력하여 복소수의 절댓값과 편각을 각각 구해보자.[br][center][code]| z_1 |[/code] 또는 [code]abs( z_1 )[/code][br][code]arg( z_1 )[/code][/center][/size]

[size=150]두 복소수 [math]\large z_1[/math], [math]\large z_2[/math]를 곱한 [math]\large z_1 z_2[/math]의 크기는 각각의 복소수의 크기를 곱한 값과 같고, 편각은 각각의 복소수의 편각을 더한 값과 같다. 즉, 복소수의 곱셈은 회전(각의 합)과 확대·축소(크기의 곱)로 볼 수 있다.[br]예를 들어, 복소수 [math]\large z= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/math]은 크기가 [math]\large 1[/math]이고, 편각이 [math]\large 60\degree[/math]이므로 [math]\large z^n[/math]([math]\large n[/math]은 자연수)는 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 [math]\large 1[/math]인 원 위에서 [math]\large 60\degree[/math]씩 회전하기만 한다. 아래 지오지브라 애플릿에서 주어진 복소수 [math]\large z_1[/math]의 거듭제곱을 구해보며 이와 같은 사실을 확인해보자.[/size]