Sei D eine beliebige Menge und sei [math]\left(f_n\right)_{n \in \mathbf{N}}[/math] eine Folge von Funktionen [math]f_n: D \rightarrow \mathbf{C}[/math]. [br]Die Folge [math]\left(f_n \right)[/math] heißt [b]punktweise konvergent[/b] gegen die Funktion [math]f: D \rightarrow \mathbf{C}[/math], wenn für jedes [math]x \in D[/math] der Grenzwert [math]\lim_{x \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/math] existiert.[br]In diesem Fall heißt [math]f: D \rightarrow \mathbf{C}[/math] der [b][b]punktweise[/b] Grenzwert[/b] der Funktionenfolge [math]\left( f_n \right)[/math] und wir schreiben [math]f_n \xrightarrow{{pw}}f[/math].[br][br][i]Beispiel[br][/i]Die Funktionenfolge [math]f_{n}(x) = x^{n}[/math] ist auf [math]D = [0; 1][/math] punktweise konvergent gegen die Funktion [math]f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{ für x = 1} \\ 0 & \mbox{ für 0 \leq x < 1 \end{array} \right.[/math][i][br][br]Formale Schreibweise[/i][math]f_n \xrightarrow{{pw}}f\quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \: \forall x \in D \: \exists n_0 \in \mathbb{N} \: \forall n \in \mathbb{N}: \: n \geqslant n_0 \quad \Rightarrow \quad \left| {f_n (x) - f(x)} \right| < \varepsilon [/math][size=85][br](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 2, Vorlesungsnotizen, Sommersemester 2016, Johannes Kepler Universität Linz)[br][br][/size][b]Aufgabe[br][/b]Versuche den Gedanken der punktweisen Konvergenz schrittweise nachzuvollziehen:[br]Für jedes beliebige ε (d. h. für alle ε) und für alle möglichen Stellen x gibt es einen Wert [math]n_0[/math], ab dem für alle größeren Werte von n die Funktionswerte [math]f_n(x)[/math] in dem ε-Streifen liegen.[br][i]Schieberegler für ε → Stelle x verschieben → Schieberegler n[/i]