[br]Katso yllä näkyvää kuvaa. Pihalle asennettiin uudet pihakivet (nekin näkyvät kuvassa). Kivien lisäksi vanha, rumahko betonikaivo haluttiin maisemoida (eli laittaa kivan näköiseksi). Ratkaisuna betonikaivon ympärille rakennettiin kuvassa näkyvä sylinterimäinen puinen koppa. Kopan kansi on täydellisen ympyrän muotoinen, koska tämä muoto miellyttää ihmisen silmää. [br][br]Jos rakennettu pihakiveys olisi täysin tasainen, tämän koristekopan rakentaminen olisi hyvin yksinkertaista. Kansi on täydellinen ympyrä, ja sen lisäksi tarvittaisiin vain sopiva määrä keskenään samanmittaisia lankkuja (jotka muodostavat kopan laidan, matemaattisin termein lieriön "vaipan").[br][br]Todellisuus ei kuitenkaan useinkaan vastaa matemaatikon toiveeseen täydellisyydestä, ja rakennettu kiveys ei ole tasainen. Miksei? Onko pihan maisemoija mokannut? Ei suinkaan; kiveyksen on pakko olla hieman viisto, koska muuten sadevedet jäisivät lillumaan kivien päälle, ja tämä vesi haittaisi piha-alueen käyttöä, ja mädättäisi puisen kopan. Toisaalta, jos koristekoppa rakennettaisiin niin, että se töröttäisi vinosta kiveyksestä suoraan, eli olisi horisonttiin nähden vinossa, se näyttäisi ihmisen silmään todella hoopolta. Koppa täytyy siis rakentaa niin, että vaikka kiveys on hieman vino, koppa nousee kuitenkin täysin suoraan ylöspäin (Maan painovoiman suuntaan, jos näin halutaan ajatella).[br][br]Kysymys kuuluu siis, kuinka laadimme suunnitelman sopivan kopan rakentamiseen? Onko kenties olemassa jokin matemaattinen funktio, joka auttaa meitä ratkaisussa?[br][br]Lähdetään näistä lähtötiedoista: kopan halkaisija on 121 senttimetriä. Pystylaudat ovat 10 senttimetriä leveitä. Korkein pystylauta (kopan sillä puolella, mihin maa viettää), on 83 senttiä pitkä. Lyhin pystylauta (ylämäen puolella), on 75 senttiä pitkä.[br][br]Vastaa seuraaviin kysymyksiin:[br]- Kuinka monta pystylautaa tarvitaan?[br]- Tunnemme lyhimmän ja pisimmän pysylaudan pituudet, mutta minkä mittaisiksi sahaamme muut? [br]

RATKAISU:[br][br]Tässä kohtaa meitä auttavat trigonometriset funktiot. Jollekin voi matematiikan tunnilla jäädä se käsitys, että trigonometriset funktiot ovat abstraktia matemaattista "yläpilveä", vailla arkielämän sovelluskohteita. Niitä tarvitaan kuitenkin insinöörimatematiikassa vähän väliä. Ensimmäinen sovelluskohde on toki värähtely, mutta niitä tarvitaan geometriassa ja rakentamisessa yhtä lailla.[br][br]Eli, nyt kun tiedämme kopan halkaisijan, voimme lakea kopan piirin. Säde on toki halkaisijan puolikas, eli 60.5 senttimetriä. Kuten tiedämme, piiri voidaan laskea [math]\Large p = 2 \pi r [/math]. Piirin pituudeksi saadaan varsin tarkkaan 380 senttimetriä.[br][br]Ensimmäinen kysymys olikin helppo: tarvitsemme [math]\Large \frac{380}{10}=38 [/math] pystylautaa.

Vastataanpa sitten kakkoskysymykseen, joka oli huomattavasti vaikeampi, ja koko tämän tarkastelun pihvi. Yleisestä matemaattisesta teoriasta tiedetään, että jos ympyrälieriö leikataan vinosti halki, ja tämän jälkeen ympyrälieriön vaippa avataan, niin tämä vino leikkaus jättää lieriön vaippaan sini- tai kosinimuotoisen jäljen.[br][br]Pari ylintä kuvaa tuolta antaa asiasta hyvän käsityksen:[br][url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/apostol388.pdf]https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/apostol388.pdf[/url][br][br]Voidaan todeta, että jokainen lauta on "keskimäärin" 87 senttimetriä pitkä (tämä on luku tasan 75:n ja 83:n välistä). Laudan pituutta pitää nyt poikkeuttaa tästä keskimääräisestä arvosta sopivalla trigonometrisellä funktiolla, joka täyttää seuraavat vaatimukset: [br]- se tekee yhden "täyden aallon" 380 senttimetrin matkalla (kopan piiri)[br]- sen korkeus on 4 senttimetriä suuntaansa[br][br]Kaava, jolla tälläinen voidaan löytää, on esitettynä alla:[br][br] [math]\Large[br]y = A \cos ( \frac{2 \pi}{\lambda} x )[br][/math] [br][br]Tässä A on aallon korkeus, ja [math]\Large \lambda [/math] on aallonpituus. Syöttämällä sopivat arvot saadaan aallon esitykseksi[br][br] [math]\Large[br]y = 4 \cos ( \frac{2 \pi}{380} x )[br][/math] [br][br]Tämä funktio kertoo siis sen, minkä verran laudan pituutta täytyy poikkeuttaa keskimäärisestä pituudesta. Kunkin laudan lopullinen pituus saadaan, kun tähän funktioon lisätään mukaan laudan keskimääräinen pitus. Tämä funktio on siis muotoa[br][br][br] [math]\Large[br]y = 87 + 4 \cos ( \frac{2 \pi}{380} x )[br][/math] [br][br]Tämä funktio kertoo meille suoraan sen, minkä mittainen on kunkin laudan oltava. Esitetään tämä tieto vielä alla olevassa kuvassa.[br][br]