[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](November 2019)[br][/b][/color][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/right][br][size=85][br]Oben angezeigt: Die komplexe Funktion [math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math] in "Polarkoordinaten" [math]z=\exp\left(\rho\right)\cdot \exp\left(\varphi\cdot i\right)[/math].[br]D.h.: dargestellt wird die Wirkung der komplexen [b]Sinus-Funktion[/b] auf die [color=#ff0000][i][b]Ursprungs-Strahlen[/b][/i][/color] und auf die dazu orthogonalen [color=#0000ff][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um den Ursprung. [br][math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math] ist überall lokal [i][b]konform[/b][/i], außer in den Nullstellen der Ableitung: z.B. [math]sin'\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/math].[br]Die [b]sin[/b]-Funktion bildet also das Gitter aus [color=#ff0000][i][b]Strahlen[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]konzentrischen Kreisen[/b][/i][/color] winkeltreu ab auf das Gitter der Bild-Kurven.[br]Die [color=#0C343D][i][b]logarithmischen Spiralen[/b][/i][/color] schneiden die Strahlen, bzw. die konzentrischen Kreise jeweils unter einem konstanten Winkel, [br]dasselbe tun die [color=#0C343D][i][b]Bildkurven[/b][/i][/color]![br]Wir nennen die Ausnahme-Punkte [math]\pm1=sin\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)[/math], zusammen mit dem doppelt-zählenden Punkt [math]\infty[/math] die "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" der Abbildung; siehe dazu [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/nar7wtgh]die Seite zuvor[/url]. [br][/size]