Le Funzioni goniometriche fondamentali, seno, coseno, tangente e cotangente, si definiscono attraverso la rappresentazione di un angolo all'interno della circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza centrata nell'origine degli assi e di raggio unitario

la funzione sen x (seno di x) indica la coordinata y del punto di intersezione della semiretta uscente dall'origine che genera l'angolo e la circonferenza goniometrica[br]E' una funzione limitata tra -1 e 1[br]E' una funzione periodica di periodo 2 pigreco

la funzione cos x (coseno di x) indica la coordinata x del punto di intersezione della semiretta uscente dall'origine che genera l'angolo e la circonferenza goniometrica[br]E' una funzione limitata tra -1 e 1[br]E' una funzione periodica di periodo 2 pigreco

la funzione tg x (tangente di x) indica la coordinata y del punto di intersezione della semiretta uscente dall'origine che genera l'angolo e la retta tangente alla circonferenza stessa nel punto (1;0) [br]E' una funzione illimitata [br]E' una funzione periodica di periodo pigreco

la funzione cotg x (cotangente di x) indica la coordinata x del punto di intersezione della semiretta uscente dall'origine che genera l'angolo e la retta tangente alla circonferenza stessa nel punto (0;1) [br]E' una funzione illimitata [br]E' una funzione periodica di periodo pigreco

Quando abbiamo conosciuto la definizione delle grandezze goniometriche abbiamo sottolineato il fatto che esse sono definite su un QUALSIASI triangolo rettangolo costruito sui lati dell'angolo: poiché i triangoli ottenuti in questo modo sono tutti [b][color=#ff0000]simili[/color][/b] (=hanno gli angoli uguali), i loro lati sono [b][color=#ff0000]proporzionali[/color][/b] e quindi il rapporto tra lati corrispondenti (p.e. cateto adiacente all'angolo diviso l'ipotenusa) dà sempre lo stesso risultato. Proprio per questo motivo possiamo considerare questo valore una caratteristica dell'angolo: una volta fissata l'ampiezza dell'angolo non dipende dal triangolo su cui la misuriamo.[br][br][b][color=#ff0000]C'è un problema che finora non abbiamo ancora affrontato: gli unici angoli su cui si può costruire un triangolo rettangolo sono quelli acuti: come possiamo definire ed utilizzare le grandezze goniometriche per gli angoli ottusi?[br][/color][/b][br]Vediamo che lo strumento che presentiamo in questo capitolo risolverà anche questo problema. Per introdurlo, tuttavia, partiamo da una considerazione ancora più semplice.[br][br][color=#ff0000][b]Poiché possiamo scegliere un triangolo qualsiasi, una scelta particolarmente interessante è quella di prendere un triangolo con ipotenusa di misura [/b][/color][math]\textcolor{red}{1}[/math]: in questo modo avremo che[br][br][math]\large{\sin\left(\alpha\right) =\frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{#009900}{ipotenusa}}\rightarrow\quad \textcolor{#009900}{se\ ipotenusa\ =1}\quad \rightarrow\ \sin\left(\alpha\right)=\frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{#009900}{1}}=\textcolor{red}{cateto\ opposto}}[/math][br][br]ed allo stesso modo:[br][br][math]\large{\cos\left(\alpha\right) =\frac{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}{\textcolor{#009900}{ipotenusa}}\rightarrow\quad \textcolor{#009900}{se\ ipotenusa\ =1}\quad \rightarrow\ \cos\left(\alpha\right)=\frac{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}{\textcolor{#009900}{1}}=\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}[/math][br][br]Nell'animazione seguente ripetiamo brevemente il percorso che ci ha portato alla definizione delle grandezze goniometriche ed introduciamo questa situazione particolarmente comoda per misurarle e visualizzarle.[br]

In questa prima introduzione abbiamo visto che [b]esiste un triangolo rettangolo di riferimento "speciale", quello la cui ipotenusa misura 1 unità[/b], perché [b]ci permette di esprimere le grandezze goniometriche in modo più semplice e di visualizzarle in modo più immediato[/b] come misura di segmenti (per il momento ci occuperemo di seno e coseno, ci occuperemo della tangente poco più avanti).[br][br]Questo triangolo "speciale" introduce uno strumento particolarmente utile, il [b]cerchio goniometrico[/b]. Nella prossima animazione approfondiamo questi concetti e definiamo i dettagli e le proprietà del cerchio goniometrico.

Abbiamo visto che [b]se riportiamo un angolo all'interno del cerchio goniometrico [/b]possiamo dare delle [b]nuove definizioni di seno e coseno che li rendono particolarmente visibili ed intuitivi[/b]:[br][br][list][*][math]\large{\textcolor{red}{\sin \alpha} : }[/math] la coordinata [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] del punto [math]\large{P}[/math] in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè [color=#ff0000]quanto l'angolo "si alza o si abbassa"[/color]. [/*][br][*][math]\large{\textcolor{blue}{\cos \alpha} : }[/math] la coordinata [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] del punto [math]\large{P}[/math] in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè [color=#0000ff]quanto l'angolo "si sposta in avanti o indietro"[/color]. [/*][/list][br][anche la tangente può essere rivista all'interno del cerchio, ma parleremo di questa grandezza in un capitolo specifico. Puoi anticipare questo aspetto visualizzando la seconda animazione nel [url=https://www.geogebra.org/m/GedCeBE6#material/SXKzvpeB]capitolo sulla tangente[/url]][br][br]Dato che abbiamo parlato di queste grandezze in diversi modi, prima di proseguire è importante porre l'accento su un aspetto molto importante, per cercare di non fare confusione.[br][br][b][color=#ff0000]ATTENZIONE: [/color][/b]abbiamo appena visto che [color=#ff0000][u][b]SUL CERCHIO GONIOMETRICO[/b][/u][/color] il seno di un angolo COINCIDE con il cateto opposto (cioè con la y del punto P) ed il coseno COINCIDE con il cateto adiacente (la x del punto P). [b][color=#ff0000][u]QUESTO PER[/u][/color][/b][u][b][color=#ff0000]Ò [/color][/b][color=#ff0000][b]È VERO SOLO SUL CERCHIO, DOVE[/b][b] L'IPOTENUSA VALE 1[/b][/color][/u]. [b][color=#ff0000]IN GENERALE VALGONO LE DEFINIZIONI ORIGINALI: IL SENO INDICA LA [u]PROPORZIONE (cioè il RAPPORTO)[/u] TRA CATETO OPPOSTO ED IPOTENUSA (ed analogamente il coseno indica la proporzione tra cateto adiacente ed ipotenusa)[/color][/b].[br][br]Proviamo a fare un esempio per chiarire la differenza tra i due approcci.

Per risolvere correttamente il problema è importante ricordare che il seno di 30° [u][b]NON[/b][/u] è la misura del segmento [math]\overline{CB}[/math], che quindi [u][b]NON[/b][/u] è lungo [math]\large{\frac{1}{2}}[/math]. Il fatto che il seno di 30° valga [math]\large{\frac{1}{2}}[/math] ci dice che in un angolo di 30° la componente di "elevazione" (quella opposta all'angolo) è pari a [math]\textcolor{red}{\large{\frac{1}{2}}}[/math] [b][color=#ff0000]DEL SEGMENTO INCLINATO[/color] (l'ipotenusa), cioè [color=#ff0000]la sua metà[/color].[/b] Abbiamo quindi:[br][br][math]\large{\overline{CB}=\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7}[/math][br][br]Otteniamo lo stesso risultato partendo dalla definizione generica di seno:[br][br][math]\large{sin(\alpha)=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} \implies \ invertendo\ la\ formula\ \implies \overline{CB} = \overline{AC} \cdot sin(\alpha) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000]LE RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA GONIOMETRIA[/color][/size][br][br]Come anticipato, il cerchio goniometrico permette di ottenere in modo molto diretto le due relazioni fondamentale della goniometria, come diretta conseguenza di quanto appena ottenuto. [br][br]Ricordiamo infatti che [b]nel cerchio goniometrico[/b] valgono tra i lati del triangolo costruito sull'angolo le seguenti relazioni :[br][list][*]l'ipotenusa misura 1, [br][/*][*]il [color=#ff0000][b]cateto opposto[/b][/color] all'angolo coincide con il [color=#ff0000]seno dell'angolo[/color] [br][/*][*]il [color=#0000ff][b]cateto adiacente[/b][/color] all'angolo coincide con il [color=#0000ff]coseno dell'angolo[/color][/*][/list][br][br]Per ottenere [b]la prima relazione fondamentale[/b] possiamo inserire queste considerazioni nel [b]TEOREMA DI PITAGORA[/b] ottenendo:[br][br][math]\large{(ipotenusa)^2=(\textcolor{red}{cateto\ opposto})^2+(\textcolor{blue}{cateto\ adiacente})^2}[/math] sostituendo otteniamo[br][br][math]\large{(1)^2=(\textcolor{red}{sin(\alpha)})^2+(\textcolor{blue}{cos(\alpha)})^2}[/math][br][br]otteniamo quindi la prima relazione fondamentale:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{sin^2(\alpha)}+\textcolor{blue}{cos^2(\alpha)}=1}[/math][br][br][b]La seconda relazione fondamentale[/b] risulta ancora più immediata: poiché nel cerchio goniometrico seno e coseno coincidono con i cateti del triangolo si ha infatti che[br][br][math]\large{\tan \alpha = \frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}} = \frac{\textcolor{red}{sin(\alpha)}}{\textcolor{blue}{cos(\alpha)}}}[/math][br][br][b]È importante capire che le due definizioni che abbiamo dato di seno e coseno sul cerchio goniometrico sono solo due modi diversi e particolarmente "comodi" di descrivere le solite proprietà; i loro valori rimangono gli stessi indipendentemente da come ne parliamo[/b]. Anche le relazioni fondamentali quindi valgono a prescindere che stiamo considerando un angolo nel cerchio goniometrico oppure no.[br]

[br][size=150][color=#ff0000]AD UN SENO CORRISPONDONO DUE COSENI - E VICEVERSA[/color][/size][br]Applicando la prima relazione fondamentale abbiamo visto come ottenere il seno a partire dal seno e viceversa. Rivediamo velocemente come:[br] [br][math]\large{\textcolor{red}{sin^2\alpha}+\textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1 \qquad \rightarrow \qquad \textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}[/math][br][br]Applicando una radice per eliminare la potenza ottengo[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{cos\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}}[/math][br][br]Avevamo già notato come a partire da un certo valore di [math]\large{\textcolor{red}{sin\alpha}}[/math] otteniamo due valori opposti per [math]\large{\textcolor{blue}{cos\alpha}}[/math]. [br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO: Un angolo [math]\large{\alpha}[/math] ha seno che misura [math]\large{\frac{1}{4}}[/math]. Quanto misura il suo coseno? Quanto vale [math]\large{\alpha}[/math]?[br][/color][/b][color=#0000ff]Applicando la formula appena trovata otteniamo:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{cos\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{\left ( \frac{1}{4} \right )^2}}=\pm \sqrt{\frac{15}{16}}=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}}[/math][br][br]Non avendo altri elementi, non siamo in grado di decidere quale dei due valori (quello positivo o quello negativo) sia il corretto coseno dell'angolo. Di conseguenza tantomeno riusciamo a stabilire la misura dell'angolo stesso.[/color][br][br][b]Grazie alla rappresentazione sul cerchio goniometrico siamo in grado di capire la ragione di questa ambiguità[/b]: nell'animazione presentata sopra, infatti, abbiamo visto due angoli che avevano lo stesso seno ed il coseno opposto: quindi dato un valore del seno (una misura dell'elevazione) abbiamo due possibili valori del coseno: uno spostamento "in avanti", e quindi positivo, ed uno spostamento identico ma "all'indietro", cioè negativo.[br][br]Rivediamo questo caso nell'immagine qui sotto.[br][br]

La stessa ambiguità si ottiene ovviamente ricavando dalla prima legge fondamentale[color=#ff0000][b] il seno[/b][/color].[br][br][math]\large{\textcolor{red}{sin^2\alpha}+\textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1\quad \rightarrow \quad \textcolor{red}{sin^2\alpha}=1-\textcolor{blue}{cos^2\alpha}\quad \rightarrow \quad\textcolor{red}{sin\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{blue}{cos^2\alpha}}}[/math][br][br]Se ho il valore del coseno, cioè un certo spostamento orizzontale, ottengo due valori per il seno, e quindi due angoli caratterizzati dal coseno di partenza: un angolo rivolto verso l'alto (seno positivo) ed uno rivolto verso il basso (seno negativo).

[color=#ff0000][size=150][size=100][color=#000000]Abbiamo già visto due casi di coppie di angoli che hanno grandezze goniometriche in comune - stesso seno o stesso coseno. Ricorderai anche che abbiamo visto che due angoli complementari si scambiano seno e coseno. [br][br]Sono i casi più semplici di una tipologia di relazione più generale, che definiscono coppie di angoli le cui grandezze goniometriche sono legate tra loro. [/color][color=#000000]Queste coppie di angoli si definiscono [/color][b]archi associati[/b][color=#000000], e saranno l'argomento del prossimo capitolo.[/color][/size][/size][/color]