Baumdiagramme - zwei Töchter
Ein einführendes Beispiel
Stellen Sie sich vor, Sie haben neue Nachbarn. Eine Familie mit zwei [br]Kindern. Am Tag des Einzuges Ihrer neuen Nachbarn sehen Sie die beiden Eltern mit[br] [b]einem[/b] ihrer Kinder - einem Mädchen - im Garten vor dem Haus. [b]Mit [br]welcher Wahrscheinlichkeit hat diese Familie 2 Töchter?[br][color=#980000]Beantworten Sie zuerst diese Frage und lesen Sie noch nicht weiter![/color][/b][br]Gehen Sie davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der [br]Mädchen oder Jungen geboren werden, genau 0,5 - also 50% - ist.
Das Problem als Baumdiagramm
Veranschaulichen wir uns das Problem in einem Baumdiagramm. Selbst wenn eine Mutter Zwillinge bekommt, werden diese Kinder nacheinander geboren und auch Zwillinge können unterschiedliches Geschlecht haben. Also stellen wir nun ein Baumdiagramm auf, in der ersten Stufe beschreibt dieses die Geburt des ersten Kindes und in der zweiten Stufe die Geburt des zweiten Kindes. dabei sind folgende Namen für die möglichen Ereignisse gewählt: [math]\mathbf{M}[/math] steht für "ein Mädchen wurde geboren" und [math]\mathbf{J}[/math] steht für "es wurde ein Junge geboren":
Ein vollständiges Baumdiagramm
Oben steht ein [color=#980000][b]vollständiges Baumdiagramm[/b][/color], das heißt [br][list][*]am Ende eines [b]jeden Astes[/b] ist ein [b]Ereignis[/b] notiert (hier [math]\mathbf{M}[/math], [math]\mathbf{J}[/math], [math]\mathbf{MM}[/math] usw.)[/*][*]an [b][i]jedem Ast [/i][/b]und[b][i] an den untersten Ereignissen [/i][/b] stehen Wahrscheinlichkeiten mit Bezeichnung und Zahlenwert[/*][*]Nach jeder Verzweigung muss die [b]Summe der Wahrscheinlichkeiten der folgenden Äste [/b]gleich 1 sein.[br][/*][/list]
Pfadregeln
Ein [color=#980000][b]Pfad[/b][/color] ist in einem Baumdiagramm ein Weg von Ast zu Ast von der Spitze bis zu einem der offenen Enden ganz unten.[br]Bei Baumdiagrammen gibt es zwei sogenannte [color=#980000][b]Pfadregeln[/b][/color]:[br][list=1][*]Um [b]die Wahrscheinlichkeit am Ende eines Pfades[/b] zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeit aller Äste auf dem Weg [b]multipliziert[/b] werden.[/*][*]Die [b]Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade, die zum gleichen Ereignis gehören[/b], müssen [b]addiert[/b] werden.[br][/*][/list]In diesem Beispiel geht es darum, ob die Familie [i]eine[/i] Tochter oder [i]zwei[/i] Töchter hat. Die Wahrscheinlichkeit für "eine Tochter" ist: [br][math]P(\text{eine Tochter})=P(\mathbf {MJ})+P(\mathbf {JM})=0,25+0,25=0,5=50\%[/math][br]Hier wurde also die zweite Pfadregel angewendet.
Die Lösung des Rätsels
Wenn Sie die Eltern mit einem Mädchen im Nachbargarten beobachten, dann wissen Sie mit Sicherheit, dass die Familie nicht zwei Söhne hat. Allerdings wissen Sie nicht, ob es sich bei der Tochter, die Sie sehen, um das jüngere oder um das ältere Kind handelt. [br]Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse [math]\mathbf{MM}[/math], [math]\mathbf{MJ}[/math] und [math]\mathbf{JM}[/math] sind jeweils gleich groß. Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die neue Nachbarsfamilie 2 Töchter hat, nur [br][math]P(\text{2 Töchter})=\frac 13\approx 0,333=33,3\%[/math][br]Lagen Sie mit Ihrer Antwort richtig?