Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math], la funzione [math]\large\bf y=F\left(x\right)[/math] tale che[br][br][center][math]\Large\bf F'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math][/center]è detta funzione [b]primitiva[/b] (o [i]antiderivata[/i]) della funzione data.[br][i]Quindi la [b]primitiva[/b] di una funzione è quella funzione la cui [b]derivata[/b] è uguale alla funzione data.[/i][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Ogni funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] [b]continua nel suo dominio[/b] ammette sempre primitive.[br][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Sia [math]\large\bf y=F\left(x\right)[/math] una funzione primitiva della funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math], allora la funzione[br][br][center][math]\Large\bf G(x)=F(x)+c\quad\left(c\in\mathbb{R}\right)[/math][/center]è anch'essa una primitiva della funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math], ovvero [b]le primitive di una funzione differiscono al più di una costante additiva[/b].

Infatti se si deriva[br][center][math]\Large D\left(G(x)\right)=D\left(F(x)+c\right)=F'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math][/center]tenuto conto che la derivata della costante [b]c[/b] è [b]nulla[/b].[br][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Le primitive di una funzione sono [b]infinite[/b].[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math], si definisce [b]integrale indefinito[/b] della funzione rispetto la variabile indipendente [math]\large\bf x[/math] l'insieme di tutte le primitive della funzione data, ovvero in simboli:[br][center][math]\Large\bf \int f(x) d x=F(x)+c\quad\left(c\in\mathbb{R}\right)[/math][/center]dove:[br][list][*][math]\large \int[/math] è il simbolo d'integrazione[/*][*][math]\large\bf dx[/math] indica la variabile d'integrazione[/*][/list][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

L'integrale indefinito è un'operatore lineare, ovvero:[br][list][*][math]\large\bf \int [f(x)\pm g(x)]\ dx=\int f(x)\ dx\pm\int g(x)\ dx[/math][br][/*][*][math]\large\bf\int_{ }^{ }[k\cdot f(x)]\ dx=k\cdot\int_{ }^{ }f(x)\ dx\quad(k\in\mathbb{R})[/math][br][/*][/list]