[br]Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το χρησιμοποιούμε καθημερινά με πολλαπλούς τρόπους έχοντας σχηματίσει μέσα στους αιώνες μια συγκεκριμένη άποψη για αυτό. Εδώ θα θεμελιώσουμε το σύνολο αυτό αξιωματικά.[br][br]Αρχικά ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα μη κενό σύνολο που το συμβολίζουμε με [math]\mathbb{R}[/math][br]το οποίο το εφοδιάζουμε με μια πράξη που την ονομάζουμε πρόσθεση [math]\left(+\right):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R},\left(x,y\right)\mapsto x+y[/math] ,μια πράξη που την ονομάζουμε πολλαπλασιασμό [math]\left(.\right):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R},\left(x,y\right)\mapsto xy[/math] , μια σχέση [math]\preceq[/math] ολικής(γραμμικής) διάταξης και που ταυτόχρονα ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα.[br][br][b]Αξιώματα της Πρόσθεσης[br] [br][/b][b]A1)[math]\forall x,y\in\mathbb{R},x+y=y+x[/math][/b](Αντιμεταθετική ιδιότητα)[br][br][b]A2)[math]\forall x,y,z\in\mathbb{R},x+\left(y+z\right)=\left(x+y\right)+z[/math] [/b](Προσεταιριστική ιδιότητα)[br][b][br]A3)[math]\exists0\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R},x+0=0+x=x[/math] [/b](Ουδέτερο στοιχείο) [br][b][br]A4)[math]\exists x'\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R},x+x'=0\left(x'=-x\right)[/math] [/b](Ύπαρξη αντιθέτου)[br][br][b]Αξιώματα του Πολλαπλασιασμού[/b][br][br][b]A5)[math]\forall x,y\in\mathbb{R},xy=yx[/math][/b](Αντιμεταθετική ιδιότητα)[br][br][b]A6)[math]\forall x,y,z\in\mathbb{R}:x\left(yz\right)=\left(xy\right)z[/math] [/b](Προσεταιριστική ιδιότητα)[br][b][br]A7)[math]\exists1\in\mathbb{R},1\ne0:\forall x\in\mathbb{R}:x1=1x=x[/math][/b] (Ουδέτερο στοιχείο) [br] [br][b]A8)[math]\exists x'\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R}^{\cdot},xx'=1\left(x'=\frac{1}{x}\right)[/math] [/b](Ύπαρξη αντιθέτου)[b][br][br]Αξίωμα που συνδέει την πρόσθεση με τον πολλαπλασιασμό[br][br]A9)[math]\forall x,y,z\in\mathbb{R},x\left(y+z\right)=xy+xz[/math] [/b](Επιμεριστική ιδιότητα του πολ/μού ως προς την πρόσθεση)[b][br]Αξιώματα Διάταξης[/b][b]A10)[math]\forall x,y\in\mathbb{R},[/math][/b]ισχύει ένα από τα τρία :[math]xy[/math](Αξίωμα Τριχοτομίας)[br][b][br]A11)[math]\forall x,y,z\in\mathbb{R},x[/b][br][br][b]A12)[math]\forall x,y\in\mathbb{R},x,y>0\Longrightarrow xy>0[/math][/b][br][b][br]A13)[/b][br][br]Αξίωμα της Πληρότητας[br][br][br][br][br][br][br]