Una curva cónica C, en el plano XY, satisface una ecuación algebraica de grado dos respecto a las variables x e y. Por tanto su ecuación será de la forma:[br][math]A\cdot x^2+B\cdot y^2+C\cdot x\cdot y+D\cdot x+E\cdot y+F=0[/math][br]Siendo A, B, C, D, E y F números reales.[br]También podemos expresar la ecuación de la cónica C, en forma matricial de la forma:[br][math]\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math][br]Siendo M una matriz cuadrada real de orden 3 y simétrica [math]\left(M=M^t\right)[/math]. M se denomina matriz de coordenadas.

1.- Decimos que dos puntos del plano [math]\left(u_1,u_2\right),\left(v_1,v_2\right)[/math] son conjugados respecto de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] si se cumple: [math]\left(1,u_1,u_2\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\v_1\\v_2\end{matrix}\right)=0[/math].[br]Si se cumple: [math]\left(1,u_1,u_2\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\u_1\\u_2\end{matrix}\right)=0[/math] , decimos que el punto [math]\left(u_1,u_2\right)[/math] es autoconjugado respecto de la cónica C. Es evidente que si el punto [math]\left(u_1,u_2\right)[/math] pertenece a la cónica C, entonces es autoconjugado [br]2.- Hay que observar que una cónica C, verifica infinitas ecuaciones de la forma [math]\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math], ya que si N es una matriz proporcional a M, existe un real c no nulo, tal que se verifica:[br][math]\left(1,x,y\right)\cdot N\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=c\cdot\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=c\cdot0=0[/math][br]3.- Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es la ecuación de una cónica, respecto de un sistema de referencia R, y S es otro sistema de referencia, cuyas ecuaciones de cambio viene dadas por [math]\left(1,x,y\right)=\left(1,x',y'\right)\cdot N[/math] , entonces, la cónica C, respecto del nuevo sistema de referencia S vendrá dado por las ecuaciones :[br][math]C:\left(1,x,y\right)\cdot N^t\cdot M\cdot N\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math]

Si [math]P_0=(x_0,y_0)[/math] es un punto del plano afín, denominamos recta polar de [math]P_0[/math], respecto de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] [br]a la recta [br][math]r:\left(1,x_0,y_0\right)\cdot M=0[/math][br][br]

1.- Si [math]\left(1,x_0,y_0\right)\cdot M=\left(t,0,0\right);t\epsilon\mathbb{R}-\left\{0\right\}\Rightarrow[/math] No existe ningún punto P del plano afín conjugado con [math]P_0[/math]. [br]2.- Si [math]\left(1,x,y\right)\cdot M=\left(0,0,0\right)\Rightarrow[/math] Cualquier punto P del plano afín es conjugado con [math]P_0[/math].

El conjunto de los puntos singulares de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es:[br][math]\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:\left(1,x,y\right)\cdot M=\left(0,0,0\right)\right\}[/math].[br]Es decir, dichos puntos resultan de resolver el sistema de ecuaciones:[br][math]m_{00}+m_{01}\cdot x+m_{02}\cdot y=0[/math][br][math]m_{01}+m_{11}\cdot x+m_{12}\cdot y=0[/math][br][math]m_{02}+m_{12}\cdot x+m_{22}\cdot y=0[/math][br]Además, teniendo en cuenta la compatibilidad de dicho sistema se cumplirá:[br]- Si rango(M)=3, C no tiene puntos singulares.[br]- Si rango(M)=2, existe un único punto singular.[br]- Si rango(M)=1, existe infinitos puntos singulares (pertenecientes a una recta).

- La cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es regular si [math]\left|M\right|\ne0[/math], en otro caso es degenerada.[br]- Si la cónica C es regular y r es una recta polar del punto [math]P_0(x_0,y_0)[/math], entonces [math]P_0[/math] es único y se denomina polo de la recta r.[br]

Si r es una recta y C una cónica, los puntos de intersección [math]r\cap C[/math], se obtendrán al resolver el sistema de ecuaciones de la recta r y de la cónica C. Y se cumplirá:[br]- Si es un sistema incompatible, la recta r será exterior a la cónica C.[br]- Si es un sistema compatible determinado:[br] * Si tiene solución única r es tangente a C[br] * Si tiene dos soluciones r es secante a C.[br]- Si C es compatible indeterminado r esta incluida en C, y r es generatriz de C.

1.- Si la cónica C posee una recta generatriz, entonces C es unión de dos rectas del plano afín.[br]2.- Si C es una cónica y [math]P_0[/math] es un punto singular de C, entonces, toda recta que pasa por [math]P_0[/math] o es recta tangente a C o es recta generatriz de C.

Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es una CÓNICA REGULAR es decir si |M| ≠ 0. [br]Si denominamos:[br][math]M_{00}=\left(\begin{matrix}m_{11}m_{12}\\m_{12}m_{22}\end{matrix}\right)[/math][br]Resolviendo el sistema (1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}, se cumple:[br]a) Si [math]\left|M_{00}\right|\ne0[/math] , existe un único punto Q que es centro de la cónica C.[br]b) Si [math]\left|M_{00}\right|=0[/math], entonces la cónica C no tiene centro, ya el sistema (1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}, sería incompatible.[br][br]

Un punto P ∈ A (plano afín) es CENTRO de la CÓNICA C, cuando no existe ningún punto P ' conjugado con P, respecto de la cónica C.[br]Como los puntos P ∈ A (plano afín), que no poseen puntos conjugados deben de cumplir la ecuación:[br](1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}[br]Es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones:[br][math]m_{00}+m_{01}\cdot x+m_{02}y=λ;λ∈R-\left\{0\right\}[/math][br][math]m_{01}+m_{11}\cdot x+m_{02}\cdot y=0[/math][br][math]m_{12}+m_{12}\cdot x+m_{22}\cdot y=0[/math][br][b]Ejemplo[/b]: [br]Dada la cónica:[br][math]x^2+4\cdot y^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x-2\cdot y+1=0[/math][br]Resolviendo las ecuaciones:[br][math]1+2\cdot x-y=\lambda[/math][br][math]2+x+y=0[/math][br][math]-1+x+4y=0[/math][br]Obtenemos el Centro de la elipse (-3,1).

Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es una cónica degenerada, es decir [math]\left|M\right|=0[/math], resolviendo el sistema:[br](1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}[br]y teniendo en cuenta que para que exista solución, se tiene que cumplir:[br][math]rango\left(M\right)=rango\left(\begin{matrix}\begin{matrix}m_{00}m_{01}m_{02}\lambda\end{matrix}\\m_{01}m_{11}m_{12}0\\m_{02}m_{12}m_{22}0\end{matrix}\right)[/math][br]a) Si [math]\left|M_{00}\right|\ne0[/math], el sistema no tiene solución y C no tiene centro.[br]b) Si [math]\left|M_{00}\right|=0[/math], [math]m_{01}=0[/math] y [math]m_{02}=0[/math][br] - Si [math]m_{00}=0[/math] C no tiene centro.[br] - Si [math]m_{00}\ne0[/math] Si rango(M)=1, C no tiene centro y si rango(M)=2, el centro de C es una recta.[br]