Valaha minden papírboltban, játékboltban lehetett kapni azt a néhány fogaskerékszerű korongból álló spirográf nevű "játékot" amellyel ilyen csodálatos vonalakat lehetett rajzolni. [br]Most a GeoGebra eszköztárának a felhasználásával adjuk olvasóink kezébe e rajzok készítésének a lehetőségét, kicsit megvilágítva a téma technikai és matematikai hátterét is.

Általában [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Ciklois][i]ciklois[/i][/url]nak nevezzük egy "nyomot hagyó" pontnak a pályáját, amelyet egy egyenesen, vagy körön - gördülő kör valamely rögzített pontja ír le. [br][br]Anélkül, hogy itt etimológiai részletekbe bocsátkoznánk ([i]ciklois: epi∼ , hipo∼ , nyújtott ∼ , csúcsos ∼ , hurkolt ∼ [/i]) szavak jelentéséről, vizsgáljuk meg alaposan (a csúszkák és kapcsolók kipróbálásával) az alábbi appletet, amely egy [color=#0000ff][i][b]R[/b][/i] [/color]sugarú körön gördülő [i][b][color=#ff0000]r[/color][/b] [/i]sugarú körhöz rögzített pont pályáját (mértani helyét) állítja elő.)[br] Az önálló felfedezés örömét nyújtva, javasoljuk olvasóinknak hogy először "próbálják ki" az applet összes lehetőségét, a "hogyan" és "miért" kérdéseket későbbre halasztva.

[list][*]A kapott zárt folytonos ciklois vonalat[u] egyértelműen előállítja[/u] az álló kör [b]R[/b] és a gördülő kör [b]r[/b] sugara, a gördülő körrel együtt mozgó [b]d[/b] szakasz - amelynek a végpontja állítja elő cikloist - valamint a [b]+?- [/b]jelű kétállapotú kapcsoló, amely a körök kölcsönös helyzetét szabályozza.[/*][*]A csúszkákkal előállított [b]R[/b] és[b] r[/b] értéke [u]egész szám[/u]. Ez biztosítja, hogy a kapott vonal-alakzat zárt. (Gondoljuk arra, hogy minden fogaskerék fogainak a száma egész szám).[/*][/list][list][*]A keletkező ciklois egymással egybevágó részeinek - csúcsos cikloisnál a csúcsok - száma: [i]R[/i][i]m, [/i]ahol [i]R/r =R[sub]m[/sub]/r[sub]m =[/sub] [/i], és [i]R[sub]m[/sub] , r[/i][sub][i]m[/i] [/sub]. relatív prímek. [/*][/list][list][*]Ha a kezdő helyzetből kiindulva az álló kör [i]O[/i] középpontja körül [i]r[sub]m[/sub]α[/i] szöggel fordul el a gördülő kör [i]K[/i] középpontja, akkor ezalatt a gördülő kör [i]R[sub]m[/sub]α[/i] szöggel fordul el a [i]K [/i]pont körül. A pontok nevei a [u]szerkesztés[/u] jelölőnégyzet bekapcsolásakor jelennek meg. [/*][*] Ha [i]hipocikloist[/i] rajzolunk, vagyis az álló és gördülő kör belülről érinti egymást az [i]E[/i] pontban, akkor [i]K[/i]-nak negatív irányba kell forognia ahhoz az [i]EKD[/i] szög pozitív maradjon; [/*][*] A ciklois-vonalat rajzoló [i]D[/i] pont a [i]K[/i] körül minden esetben pozitív irányban forog. [/*][*]Az [i]E[/i] érintési pont ugyanakkora [i]R*r[sub]m [/sub]α[/i] = [i]R[sub]m*[/sub]rα[/i] utat tesz meg a kiindulás [i]E[sub]0[/sub][/i] pontjától mind az álló, mind a mozgó körön, Tehát a gördülés valóban csúszásmentes. [/*][*]Ha "fogaskerekekkel" jelöljük a csúszás mentes gördülést, akkor az álló körön [b]s*R[sub]fk[/sub][/b] , a gördülőn [b]s*r[sub]fk[/sub][/b] lesz a fogaskerekek száma, ahol az [b]R[sub]fk[/sub]=s*R[/b] és [b]r[/b][b][sub]fk[/sub]=s*r[/b] , és [i] s≥min(R,r)[/i].[br][/*][*]Ha adott az [i]α[/i][b] [/b]szög, ebből meg tudjuk szerkeszteni mind az [i]r[sub]m[/sub]α[/i][b] [/b]mind az [i]R[sub]m[/sub]α[/i] szöget, így meg tudjuk szerkeszteni a ciklois - egyetlen -[i] α[/i] hoz tartozó pontját. Maga a ciklois vonal nem szerkeszthető,...[/*][/list]

Az alábbi applet bemenő adatai megegyeznek a fentivel, az eltérés mindössze annyi, hogy a cikloist egyetlen képlettel állítottuk elő, továbbá elhagytuk a görbe - mint mértani hely - előállításához szükségtelen részeket. [br]Itt [b]e=1[/b] vagy e[b]=-1[/b] attól függően, hogy [i]epi[/i]- vagy [u]hipocikloist[/u] állítunk elő, továbbá [b]m=LNKO(R,r).[br][/b]A GeoGebra paraméteres alakban megadott sík- és térgörbék előállítására a [b]GörbeParaméteres(x(t),y(t),t,t[sub]1[/sub],t[sub]2[/sub]) [/b]parancs ad lehetőséget. paraméteres sik- és tér görbék előállítására[b] [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/zdEAeP9J]itt[/url] [/b]és [b][url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/EZRJUg6w]itt[/url][/b] láthatunk példát.

Szükség van-e arra, hogy a fenti cikloisokat két, egymáson gördülő körrel állítsuk elő?[br]Az alábbi appletet alaposan megvizsgálva kiderül, hogy nincs.[br][br]Legyen adott az[b] [color=#0000ff]a[/color][/b] és [b][color=#ff0000]b[/color][/b] sugarú [b][color=#0000ff]K_a[/color][/b]ill. [color=#ff0000]K_b[/color] középpontú kör, amelyen körbe fut az [color=#0000ff][b]A[/b] [/color]ill. [b][color=#ff0000]B[/color][/b] pont úgy, hogy e pontok kerületi sebessége legyen egyenlő. (Mint ahogy például egy kocsi kerekei forognak, ahol - esetleg - a kerekek mérete különböző. [br][br]Itt most a [b][color=#9900ff]k[/color] [/b]csúszka az [i](AB)[/i] egyenesnek azt a [b][color=#ff00ff]P[/color][/b] pontját állítja elő, amelyre AP =k AB, ahol [i]AB [/i]és [i]AP[/i] [u]előjeles[/u] szakaszokat jelent. [br][br]A [i]P[/i] pont pályáját az appletben leírt paranéteres görbével adtuk meg, amely - úgy tűnik - ugyancsak ciklois. Olvasóinkra bízzuk annak a belátását, hogy ezzel a [color=#ff00ff][b]P[/b][/color] pont valóban [i][color=#38761d]epi-[/color][/i] ill. [i][color=#ff0000]hipocikloi[/color]st[/i] állít elő attól függően, hogy az [b][color=#0000ff]A[/color][/b] és [b][color=#ff0000]B[/color][/b] pont azonos, vagy ellentétes irányban forog-e. (Ez most is a [b]+?-[/b] jelű jelölőnégyzettel szabályozható. [br][br]A képletben szereplő [b]e[/b] érték a [color=#ff0000][b]B[/b][/color] pont forgásának az [color=#0000ff][b]A [/b][/color]forgásához viszonyított irányát adja meg, [b]m=LNKO(a,b) , s[sub]a[/sub] [/b]és [b]s[sub]b[/sub] [/b]pedig a mozgás [i]α=0 [/i]-hoz tartozó kezdőpontokat határozza meg, amelyet itt a ▶ jelű pontokról indul. (Mivel a két kör nem érinti egymást, ezek a "start" pontok függetlenek egymástól.

[list][*]Az "[u]Animáció[/u]" csak szemlélteti a ciklois előállítását, a görbe képlete ettől független.[/*][*]Miként függ[color=#0000ff][b] a[/b][/color] és [color=#ff0000][b]b[/b] [/color][color=#333333]megadásától a ciklois egybevágó íveinek -"füeinek" - a száma? Ez ugyanis eltér az első appletben látottaktól.[/color][/*][*][color=#333333]Függ-e a kapott görbe alakja a ▶ jelű - egérrel mozgatható - kezdőpontok megválasztásától. [/color][/*][*]Függ-e a körök [b][color=#0000ff]K[sub]a[/sub][/color][/b] ill [b][color=#ff0000]K[sub]b[/sub][/color][/b] középpontjainak megválasztásától a kapott ciklois alakja? Hol a ciklois középpontja? Lehet-e a két kör metsző, vagy koncentrikus?[br][/*][*]Mi történne, ha a a [b][color=#0000ff]k_a[/color][/b] és [b][color=#ff0000]k_b[/color][/b] vezérköröket a térben, de egymással párhuzamos síkokban helyeznénk el? És ha e körök síkjai sem lennének páruzamosak? [/*][*][color=#333333]Mitől függ, hogy lapos, csúcsos, vagy hurkolt cikloist kapunk? Milyen speciális esetben kapnánk csúcsos cikloist?[/color] [/*][/list]Bízunk benne, hogy ebben a témában olvasóink sok további kérdést fel fognak tenni, és meg is tudnak válaszolni.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/cwewfgxy]Itt mutatunk egy szép példát arra[/url], hogy a cikloisok témakörét tovább bővítve milyen lenyűgöző dinamikus rendszerekhez juthatunk.