[br]Pokażemy, że funkcja określonej wzorem[br][center][math]f(x,y)=x^2+2y^2-2xy-4y[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math],[/center]posiada jeden punkt stacjonarny, a następnie na podstawie definicji wykażemy, że funkcja [math]f[/math] ma w nim ekstremum lokalne.[br][br][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkja [math]f[/math] ma pochodne cząstkowe w całej dziedzinie. Z powyższych obliczeń wynika, że [math]f[/math] posiada jeden punkt stacjonarny [math]P=(2,2)[/math], który należy do jej dziedziny. To oznacza, że funkcja [math]f[/math] może posiadać co najwyżej jedno ekstremum lokalne. Zauważmy, że jeśli [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math], to [br][center][math]\begin{matrix}f(x,y)=x^2+2y^2-2xy-4y=\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(y^2-4y+4\right)-4=\\ =\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-4\ge-4=f\left(2,2\right)\textrm{,} \end{matrix}[/math] [/center]a zatem funkcja [math]f[/math] ma w punkcie [math]P[/math] minimum lokalne równe [math]-4.[/math] Jest to jednocześnie najmniejsza wartość funkcji w całej jej dziedzinie, czyli tzw. minimum globalne.[br]