2.5.4 Exponentielles Wachstum

Bestimmung von k.

In der folgenden Geogebra-Datei sehen Sie einen exponentiellen Wachstum. Mit Hilfe von zwei Punkten kann man den Faktor k bestimmen.

Aufgabe 1a)

Kreuzen Sie die passenden Punkte an.

D ( 8 | 400 ) A ( 100 | 0 ) E ( 800 | 12 ) B ( 0 | 100 ) C ( 4 | 200 )

Aufgabe 1 b)

Bestimmen Sie den Faktor k.[br][br]Verwenden Sie folgende Vorgehensweise:[br][br][math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot t}[/math]; [math]f\left(a\right)=b[/math], wobei a und b die Koordinaten eines zweiten Punkts A ( a | b) sind.[br][br][math]\Rightarrow f\left(a\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot a}[/math][br][br]Geben Sie k in der Form: [math]1,234[/math] oder [math]-1,234[/math] an.

Aufgabe 1 c)

Betrachten Sie die angegebenen y-Werte im Graphen. Erkennen Sie eine Besonderheit.

Sie treten immer im gleichen Abstand auf. Sie halbieren sich immer. Sie verdoppeln sich immer. Sie sind alle Brüche.

Aufgabe 1 d)

Bestimmen Sie die Zeit [math]T_V[/math] in dem sich die y-Werte verdoppeln.[br][br]Verwenden Sie folgende Vorgehensweise:[br][br][math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{-0,173\cdot t}[/math]; [math]f\left(T_H\right)=2\cdot f\left(0\right)[/math], wobei a und b die Koordinaten eines zweiten Punkts [math]A\left(T_V\mid2\cdot f\left(0\right)\right)[/math].[br][br][math]\Rightarrow2\cdot f\left(0\right)=f\left(0\right)\cdot e^{0,173\cdot T_V}[/math][br][br]Geben Sie [math]T_V[/math] in der Form [math]1,23[/math] an.

MERKE:

Bei einem exponentiellen Wachstum [math](k>0)[/math] gilt für die Funktion f mit [math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot t}[/math]:[br][br]Exponent k: [math]k=\frac{1}{T_V}\cdot ln\left(2\right)[/math] oder mit man bestimmt es mit zwei Funktionswerten.[br][br]Die Verdopplungszeit [math]T_V[/math] beschreibt, die Zeit in der sich der Funktionswert verdoppelt, man bestimmt sie wie folgt:[br][br][math]T_V=\frac{1}{k}\cdot ln\left(2\right)[/math]