[br]Ausführliche Musterlösung in 7 Schritten[br][br]Hier folgt die komplette Lösung der Aufgabe, bei der die Gerade [math]g[/math]: [math]y=2x-3[/math] durch zentrische Streckung mit [math]Z(4|2)[/math] und [math]k=-3[/math] auf die Bildgerade [math]g'[/math] abgebildet wird.[br][br][b]Schritt 1: Koordinaten von P ∈ g und P' ∈ g' in Abhängigkeit von x aufstellen[/b][br]Für einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g gilt:[br][math]P(x|2x-3)[/math][br]Für den Bildpunkt P' schreiben wir:[br][math]P'(x'|y')[/math][br][br]Zusätzlich haben wir:[br][math]Z(4|2)[/math] und [math]k=-3[/math][br][br][b]Schritt 2: Pfeile [math]\overrightarrow{ZP}[/math] und [math]\overrightarrow{ZP'}[/math] (Spitze minus Fuß) aufstellen[/b][br]Für den Pfeil [math]\overrightarrow{ZP}[/math] gilt:[br][math]\overrightarrow{ZP}=\binom{x-4}{(2x-3)-2}=\binom{x-4}{2x-5}[/math][br] [br]Für den Pfeil [math]\overrightarrow{ZP'}[/math] gilt:[br][math]\overrightarrow{ZP'}=\binom{x'-4}{y'-2}[/math][br] [br][b]Schritt 3: Abbildungsgleichung allgemein [math]\overrightarrow{ZP'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}[/math] aufstellen[/b][br]Nach der Abbildungsgleichung erhalten wir:[br][math]\binom{x'-4}{y'-2}=-3\cdot\binom{x-4}{2x-5}[/math][br][br][b]Schritt 4: Zeilenweises Aufschreiben des Gleichungssystems[/b][br]Dies führt zu zwei Gleichungen:[br][br][math]x'-4=-3(x-4)[/math][br][math]y'-2=-3(2x-5)[/math][br] [br][b]Schritt 5: Lösung des Gleichungssystems: Gleichung I nach x auflösen[/b][br]Beginnen wir mit der ersten Gleichung:[br][br][math]x'-4=-3(x-4)[/math][br][math]x'-4=-3x+12[/math][br][math]x'+3x=16[/math][br][br]Wir lösen nach x auf:[br][br][math]3x=16-x' \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{16-x'}{3}[/math][br][br][b]Schritt 6: Einsetzen des Terms für x in Gleichung II und nach y' auflösen[/b][br]Zuerst schreiben wir Gleichung II:[br][br][math]y'-2=-3(2x-5)[/math][br][br]Setze nun den Ausdruck für x ein:[br][br][math]y'-2=-3\Bigl(2\cdot\frac{16-x'}{3}-5\Bigr)[/math][br][br]Berechnen wir den Term in der Klammer:[br]Zuerst:[br][math]2\cdot\frac{16-x'}{3}=\frac{32-2x'}{3}[/math][br]Dann subtrahieren wir 5 (in Bruchform: [math]5=\frac{15}{3}[/math]):[br][math]\frac{32-2x'}{3}-\frac{15}{3}=\frac{17-2x'}{3}[/math][br]Setzen wir das wieder ein:[br][br][math]y'-2=-3\cdot\frac{17-2x'}{3}[/math][br][br][math]y'-2=-(17-2x')=2x'-17[/math][br][br]Also:[br][br][math]y'=2x'-17+2=2x'-15[/math][br][br][b]Schritt 7: Finale Ergebnisformulierung[/b][br]Da wir in der Bildgeraden die Variable üblicherweise wieder als x verwenden, benennen wir x' um in x. Somit lautet die Gleichung der Bildgeraden [math]g'[/math]:[br][br][math]g':\; y=2x-15[/math][br][br]Zusammenfassung[br][br]Die endgültige Bildgerade lautet:[br][math]\boxed{g':\; y=2x-15}[/math]