[b][size=150][color=#ff7700]Analogie durch algebraische Betrachtung der Sekantensteigung[/color][/size][/b][br]Spätestens bei der Berechnung der Sekantensteigung tritt der Differenzenquotient erneut auf:[br]Am Graph wurde die mittlere Änderungsrate bereits mithilfe des Steigungsdreiecks an der Sekante identifiziert:[br][math]m_s=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][br][br][br][b][color=#ff7700][size=150]GeoGebra-Applet Sekante-Tangente-algebraisch[/size][/color][/b]

[b][size=150][color=#1155cc]Link zum GeoGebra-Applet Sekante-Tangente-algebraisch[/color][/size][/b][br][img]data:image/png;base64,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[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/gemszbee]https://www.geogebra.org/m/gemszbee[br][br][/url]

[b][size=150][color=#ff7700]Grenzwertberechnung durch Modellierung[/color][/size][/b][br]Mit der vereinfachten Modellierung des Weg(Zeit)-Zusammenhangs beim Gepard [math]f\left(x\right)=b\cdot x^2[/math][br](s. [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/pmuvnap3]optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren[/url] im Kapitel lokale Änderungsrate)[br]kann auch hier der Grenzwert z.B. an der Stelle [math]x_0=2[/math] algebraisch betrachtet werden:[br][math]m_{sekante}=\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{b\cdot x^2-b\cdot2^{ }}{^{x-2}}=\frac{b\cdot\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)}=b\cdot\left(x+2\right)[/math][br][color=#ff7700]Im letzten Schritt ist es erneut wichtig zu betonen, dass [/color][math]x[/math][color=#ff7700] sich der [/color][math]2[/math][color=#ff7700] nur beliebig annähert, aber der Schritt nur zulässig ist solange [/color][math]x\ne2[/math][color=#ff7700] gilt![/color][br][br]Mit dieser Vereinfachung kann ganz analog zur lokalen Änderungsrate der Grenzwert berechnet werden:[br][math]m_{Tangente}=lim_{x\rightarrow2}m_{Sekante}=lim_{x\rightarrow2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=lim_{x\rightarrow2}\left(b\cdot\left(x+2\right)\right)=4b[/math]

[size=150][b][color=#ff7700]Formale Definition[/color][/b][/size][br]Damit kann eine formale Definition der Ableitung an der Stelle [math]x_0[/math] angegeben werden:[br]Wenn sich der Differenzenquotient [math]\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math] einer Funktion [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] beliebig nah an einen Wert annähert, wenn x gegen [math]x_0[/math] strebt ([math]x\rightarrow x_0[/math]), dann heißt dieser Wert[b] Ableitung von [/b][math]f[/math][b] an der Stelle [/b][math]x_0[/math][b].[/b][br]Man schreibt [math]f'\left(x_0\right)=lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right).[/math][br]

[b][size=150][color=#ff7700]Bemerkung zur formalen Definition:[/color][/size][/b][br]Der Grenzwert muss derselbe sein, unabhängig davon, ob man sich der Stelle [math]x_0[/math] von links oder von rechts nähert. Nur in diesem Fall ist [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] differenzierbar.

[b][color=#ff7700][size=150]h-Methode[/size][/color][/b][br]Zusätzlich kann hier die h-Methode eingesetzt werden, mit dem Nachteil, dass dazu der [b]Differenzen[/b]quotient in dieser Darstellung nicht direkt an die Erarbeitung der Sekantensteigung anknüpft. Die Anbindung von h an die Sekantensteigung erfordert einen weiteren expliziten Lernschritt.[br]Die h-Methode bindet an die Grundvorstellungen Ableitung als lineare Approximation und Ableitung als Verstärkungsfaktor.

[i][u]Quellen: [/u][br]Das obige Applet wurde erstellt von Jürgen Roth.[/i]