[center][/center][justify][/justify][justify] Vamos imaginar a seguinte situação: o litro de gasolina está sendo vendido por R$4,00. Dessa forma, ao comprar 1L de gasolina, iremos gastar R$4,00; para 2L, R$8,00. Para 5L de gasolina, vamos gastar R$20,00.[br][size=100] O custo vai variar conforme alteramos a quantidade de gasolina. Para [/size][math]x[/math]L de gasolina, iremos gastar R$[math]4x[/math]. O custo [i]depende[/i] da quantidade. Isso é o que caracteriza uma função.[/justify]

[justify][b] Função [/b]é uma relação de um conjunto [math]A[/math] em um conjunto [math]B[/math], onde todo elemento [math]x\in A[/math] possui um único correspondente [math]y\in B[/math]. Chamamos de relação de [math]A[/math] em [math]B[/math] um conjunto qualquer de pares ordenados [math]\left(a,b\right)[/math], onde [math]a\in A[/math] e [math]b\in B[/math]; se este conjunto possui um, e apenas um par ordenado para cada elemento de [math]A[/math], dizemos que ele é uma função. Dizemos que [math]y[/math] é a imagem de [math]x[/math].[br] Chamamos [math]x[/math] de [b]variável livre[/b] ou [b]independente[/b], enquanto [math]y=f\left(x\right)[/math] é uma variável que depende de [math]x[/math], ou seja, uma [b]variável dependente[/b].[br] Geralmente nomeamos uma função por uma letra minúscula, mais comumente [math]f[/math].[br] Mais intuitivamente, uma função "transforma" elementos de um conjunto em elementos de outros conjuntos.[br][/justify][list][*]Dado o conjunto [math]\mathbb{N}[/math] dos números naturais, existe o conjunto dos pares ordenados [math]s=\left\{\left(0,1\right),\left(1,2\right),\left(2,3\right),...\right\}[/math] define a função [math]s[/math] de [math]\mathbb{N}[/math] em [math]\mathbb{N}[/math];[/*][*]Existe uma função [math]n\left(p\right)[/math] que associa cada pessoa [math]p[/math] ao seu país natal [math]n\left(p\right)[/math];[/*][*]Dado um número real positivo [math]r[/math], existe um único círculo [math]c\left(r\right)[/math] com centro na origem do plano cartesiano de raio [math]r[/math], descrito pela equação [math]x^2+y^2=r^2[/math]. Esta função está apresentada no Applet abaixo.[/*][/list]

A função [math]s[/math] associa um número natural de seu domínio a outro número natural, em seu contradomínio. Dizemos [math]s:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}[br][/math].[br] A função [math]n[/math] associa cada pessoa da população mundial, um elemento do conjunto [math]T[/math], a seu país [math]p\in M[/math], onde [math]M[/math] é o conjunto de todos os países. Portanto, [math]n:T\longrightarrow M[/math].[br] Além disso, temos que [math]c:\mathbb{R}^{\ast}_+\longrightarrow P\left(\mathbb{R}^2\right)[/math], ou seja, [math]c[/math] associa um número real positivo a um conjunto de pontos do plano [math]\mathbb{R}^2[/math], um elemento do conjunto das partes de [math]\mathbb{R}^2[/math].[br] Em todos estes casos, temos um conjunto de partida - dos números naturais, das pessoas ou dos números reais positivos - que chamamos de [b]Domínio[/b], e um conjunto de chegada - dos números naturais, dos países ou dos conjuntos de pontos do plano - que chamamos de [b]Contradomínio[/b].[br] Também existe o subconjunto dos valores do contradomínio que são correspondentes de algum elemento do domínio; este conjunto é chamado [b]Imagem[/b] da função.

[b]Funções reais[/b] são aquelas que associam valores reais a valores reais. Formalmente, são funções [math]f:X\rightarrow\mathbb{R}[/math], onde [math]X[/math] é um subconjunto de [math]\mathbb{R}[/math].[br] Assim, estas funções são conjuntos de pares ordenados [math]\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2[/math] e, por isso, são representadas no plano cartesiano. Como o conjunto dos números reais é infinito, diversas representações (como tabelas e diagramas) se tornam pouco úteis. As principais representações de funções reais são por [b]lei[/b] e por [b]gráfico[/b].[br] O Applet abaixo representa o gráfico de uma função: para cada número real [math]x[/math] do domínio, representado em [color=#0000ff][b]azul[/b][/color], existe um único correspondente [math]f\left(x\right)[/math] no contradomínio, representado em [color=#ff0000][b]vermelho[/b][/color]. O gráfico da função é composto pelos pontos [math]\left(x,f\left(x\right)\right)[/math], em [color=#741b47][b]roxo[/b][/color].[br] No campo de entrada, você pode escolher outra função, determinando seu gráfico.

Em vermelho, sobre o eixo-y, está representado o conjunto imagem da função. Estes são os valores que a função ao longo de todo o seu domínio. Em azul, no eixo-x, os valores do domínio da função.