El [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_ciclot%C3%B3mico]polinomio ciclotómico[/url] [math]\Phi_n[/math] es el polinomio unitario cuyas raíces son las n-ésimas raíces primitivas de la unidad. Es decir, números complejos [math]\zeta\in\mathbb C[/math] como [math]\zeta^n=1[/math] y [math]\zeta^k\not =1[/math] para 0<k<n.[br][br][size=150][br][math]\Phi_n(X)=\prod_{\zeta\in \mathbb A_n}(X-\zeta)[/math][/size][br][br]Primero, las raíces n-ésimas son todas de la forma [math]\forall\zeta\in \mathbb U_n, \exists k\in\mathbb Z, \zeta=e^{\frac{2ik\pi}n}[/math]. Hay exactamente n diferentes alrededor del círculo unitario y k pueden elegirse entre [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]. El polinomio que los cancela a todas a la vez es por tanto [math]X^n-1[/math], de hecho es de grado n y cancela cada una de las n raíces n-ésimas de la unidad.[br][br]Aparte de ±1 que son las únicas raíces reales, las raíces de la unidad vienen en pares conjugados entre sí, uno con una parte imaginaria positiva, el otro negativo, simétricos respecto al eje real. Lo que significa que, en [math]X^n-1[/math], podemos acoplarlos y hacer que aparezcan factores irreducibles reales [size=150][br][math](X-e^{\frac{2ik\pi}n})(X-e^{\frac{-2ik\pi}n})=X^2-2\cos \frac{2k\pi}n X + 1[/math][/size][br]porque [math]e^{\frac{2ik\pi}n}+e^{\frac{-2ik\pi}n}=2\cos \frac{2k\pi}n [/math] y la factorización en polinomios reales irreducibles es, dependiendo de la paridad:[br][br][math]\Phi_{2n}(X)=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2\cos \frac{k\pi}n X+1),[/math][br][br][math]\Phi_{2n+1}(X)=(X-1)\prod_{k=1}^n(X^2-2\cos \frac{2k\pi}{2n+1} X+1).[/math][br][br]Como cada raíz n-ésima [math]\zeta\in\mathbb U_n[/math] tiene su propio orden [math]d\in\mathbb N^*[/math] tal que [math]d|n[/math], y [math]\zeta\in\mathbb A_d[/math] es una raíz d-ésima primitiva de la unidad para un divisor [math]d|n[/math]. Por lo tanto, se cancela mediante [math]\Phi_d[/math]. Por el contrario, cualquier raíz d-ésima primitiva de la unidad es también una raíz n-ésima de la unidad dado que [math]\zeta\in\mathbb A_d\Rightarrow \zeta^d=1\Rightarrow \forall k\in\mathbb N^*, \zeta^{kd}=(\zeta^d)^k=1[/math], en particular para [math]k=n\div d[/math], luego [math]\zeta^n=1[/math] y [math]\mathbb A_d\subset \mathbb U_n[/math]. Por lo tanto, el polinomio ciclotómico [math]\Phi_d|X^n-1[/math].[br][br]Claramente, una raíz n-ésima tiene un orden único, [math]\mathbb A_d\cap \mathbb A_e=\emptyset[/math] si d≠e. Por lo tanto, [math]\mathbb U_n=\sqcup\limits{d|n}\mathbb A_d[/math].[br][br][br]Como hay tantas raíces primitivas n-ésimas como números invertibles en [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math], es decir, como hay números primos con n en [math]\llbracket 1,n\rrbracket[/math], el grado de [math]\Phi_n[/math] es por tanto [math]\varphi(n)[/math], la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Euler]función indicadora de Euler[/url].[br][br][br]Procediendo de la misma manera para todos los divisores de n, obtenemos la factorización irreducible en [math]\mathbb Q[X][/math] de [math]X^n-1[/math] es[br][br][size=150][br][math]X^n-1=\prod_{\zeta\in \mathbb U_n}(X-\zeta)=\prod_{d|n}\prod_{\zeta\in \mathbb A_d}(X-\zeta)=\prod_{d|n}\Phi_d[/math][/size]