[size=85][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [i][b]geogebra-books[/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/eyczz7cq][u][color=#0000ff][i][b]bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden[/b][/i][/color][/u][/url] [color=#ff7700][i][b](14. Mai 2020)[/b][/i][/color][/right][/size][br]Wie in den vorausgegangenen Applets zeigt [b]sign = 1[/b] die [b]2[/b]-[color=#ff7700][i][b]teiligen[/b][/i][/color], [b]sign = -1[/b] die [b]1[/b]-[color=#ff7700][i][b]teiligen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] und [b]sign = 0[/b] die Möbiusbilder von [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color], bzw. [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] an.[br]Die Kurven selber werden als [i][b]Implizite Kurven[/b][/i] berechnet und in [i][b]Normalform[/b][/i] angezeigt. [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] werden aus den Koeffizienten [b]A[sub]x[/sub][/b] und [b]B[sub]y[/sub][/b] und [b]sign[/b] berechnet.[br]Die [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color], die [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] werden mit Hilfe eines der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruiert. [br]Die Konstruktion beruht auf einer einfachen, allgemein für alle [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] zutreffenden Eigenschaft: [br][list][*]Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an den [color=#b6b6b6][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer der Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color], so durchlaufen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] einen [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: den zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [/*][/list]Der für die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] bekannte Zusammenhang zwischen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color], bzw. [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color] ist also nur ein Spezialfall.[br]Die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] selber lassen sich aus der Kenntnis der [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color], der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und des zugehörigen [color=#e69138][i][b]Symmetriekreises[/b][/i][/color] konstruieren. ([sup]4[/sup])[br][br]Die logische Struktur des obigen Applets ist sehr (!) komplex. Wahrscheinlich werden nicht alle Fälle richtig angezeigt![br][br][u][color=#0000ff][i][b]Wozu dienen die doppelt-berührenden Kreise?[/b][/i][/color][/u][br][br][b]Walter Wunderlich[/b] ([sup]1[/sup]) weist in einem schönen Artikel nach, dass sich aus 3 der Scharen [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color] einer 2-teiligen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] 8 verschiedene [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze [/b][/i][/color]([i]hexagonal web of circles[/i]) aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] erzeugen lassen ([i][b]1938[/b][/i]). Dies ist ein Teil der noch ausstehenden Antwort auf die Frage von [b]Blaschke[/b] u. [b]Bol[/b] nach allen [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [i][b]Kreisen[/b][/i] ([sup]2[/sup]).[br]Weitere Antworten findet man bei der Beschäftigung mit [color=#38761D][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color]: dabei handelt es sich um die räumliche Variante der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color]. Diese besitzen folgende für Kreisfragen zentrale Eigenschaft:[br][list][*]Eine [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color], welche eine [size=85][color=#38761D][i][b]Darboux Cyclide[/b][/i][/color][/size] doppelt berührt, schneidet oder berührt die [size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] entweder längs eines 2-fach zählenden [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] oder in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] .[/*][/list]Auf einer [/size][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Darboux Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] können bis zu 6 Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen; aus diesen Scharen kann man bis zu [b]8[/b] verschiedene [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] erzeugen ([sup]3[/sup]).[/size]

[size=85]([sup]1[/sup]) [b]Walter Wunderlich[/b], [b]1938[/b]. Über ei besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 147, 385 - 399.[br]dazu die [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-Aktivität [i][url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV#material/Ug7ekXH8]Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen (Sechsecknetze)[/url][/i][br]([sup]2[/sup]) [b]Blaschke, W[/b]., [b]Bol, G[/b]., [b]1938[/b]. Geometrie der Gewebe. Springer.[br]([sup]3[/sup]) "[url=https://arxiv.org/abs/1106.1354][i]Darboux Cyclides and Webs from Circles[/i][/url]" von [b]H. POTTMANN[/b], [b]LING SHI[/b] und [b]M. SKOPENKOV (2012[/b][b])[/b]. [br]([sup]4[/sup]) Zu den Eigenschaften der bizirkularen Quartiken siehe das Kapitel: [i] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951]Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken[/url][/i][br]aus dem [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb][i]Moebiusebene[/i][/url][br][br]Zu [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color], [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]Wellen[/b][/i][/color]: [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] Kegelschnitt-Werkzeuge [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#chapter/365885][i]Kap. Kegelschnitte und Wellen[/i][/url][/size]