[br]Przypomnijmy twierdzenie zwane [b][color=#980000]I warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego[/color][/b]: [br]Jeśli funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w otoczeniu punktu [math]x_0[/math] oraz[br][list][*] [math]f' (x_0)=0[/math], [br][/*][*] [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in S^- (x_0)[/math] i [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in S^{+}(x_0)[/math] [math]( f'(x)<0[/math] dla [math]x\in S^- (x_0)[/math] i [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in S^{+}(x_0))[/math],[br][/*][/list]to funkcja [math]f[/math] posiada maksimum lokalne właściwe (minimum lokalne właściwe) w punkcie [math]x_0[/math].[br]Twierdzenie pozostaje prawdziwe również w przypadku, gdy funkcja [math]f[/math] jest tylko ciągła w punkcie [math]x_0[/math].[i][color=#666666][i][color=#666666][br][br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][i][color=#666666][i][color=#666666]Aby [i][color=#666666]za pomocą GeoGebry[/color][/i] wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji wykorzystując I warunek wystarczający, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją[/color][/i][/color][/i][/td][/tr][/table][/color][/i]1. W Widoku CAS definiujemy funkcję [math]f[/math]. Określamy dziedzinę [math]f[/math].[br]2. Obliczamy pochodną funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...) lub [b]f'(x)[/b].[br]3. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji [math]f[/math], tj. te punkty należące do dziedziny funkcji, które są rozwiązaniami równania [math]f'(x)=0[/math]. [br]4. Wyznaczamy przedziały, na których [math]f'[/math] ma stały znak rozwiązując nierówności [math]f'(x)<0[/math] i [math]f'(x)>0[/math].[br]W punktach 3 i 4 korzystamy z polecenia [b]Rozwiąż[/b](...) lub [b]Rozwiązania[/b](...).[br]5. [i][color=#666666]Obliczamy wartości funkcji w punktach, w których spełniony jest warunek wystarczający[/color][/i].[/color][/i]

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=x^3-3x^2-5x[/math] dla [math]x\in\mathbb{R}[/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w [math]\mathbb{R}[/math] i ma dwa punkty stacjonarne [math]x_1=1-\frac{2\sqrt{6}}{3}[/math] oraz [math]x_2=1+\frac{2\sqrt{6}}{3}[/math], więc może mieć co najwyżej dwa ekstrema lokalne.

[math]f'(x)>0[/math] dla [math]x<1-\frac{2\sqrt{6}}{3}[/math] oraz [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in\left(1-\frac{2\sqrt{6}}{3}, 1+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)[/math], więc funkcja [math]f[/math] ma w punkcie stacjonarnym [math]x_1[/math] maksimum lokalne o wartości [math]y_1=\frac{32\sqrt{6}-63}{9}[/math]. [br][math]f'(x)>0[/math] dla [math]x>1+\frac{2\sqrt{6}}{3}[/math] oraz [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in\left(1-\frac{2\sqrt{6}}{3}, 1+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)[/math], więc funkcja [math]f[/math] ma w punkcie stacjonarnym [math]x_2[/math] minimum lokalne o wartości [math]y_2=\frac{-32\sqrt{6}-63}{9}[/math].[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:

[color=#666666][size=85]Kliknij w punkt [math]\scriptstyle (x_1,y_1)[/math].[/size][/color]

Uzasadnij, że wartość [math]y_1[/math] nie jest największą wartością funkcji [math]f[/math] w całej jej dziedzinie, zaś [math]y_2[/math] [math]-[/math] nie jest wartością najmniejszą.