Antes de trabajar con los teoremas de esta sección, definiremos dos conceptos importantes:[br][br][list=1][*][b]Ceviana[/b]: El segmento que une un vértice de un triángulo a cualquier punto en su lado opuesto.[/*][*][b]Concurrente[/b]: Tres líneas o segmentos son [i]concurrentes[/i] si todas pasan por un punto [math]P[/math]. [/*][/list]

Si tres cevianas [math]AX[/math], [math]BY[/math] y [math]CZ[/math], cada una a través de un vértice del triángulo [math]ABC[/math], son concurrentes, entonces:[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=1[/math]. [br][br][b]Demostración:[/b] Observemos la siguiente figura:

Para probar este Teorema, debemos recordar que las áreas de triángulos con álturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Observando la figura, tenemos:[br][br][math]\frac{BX}{XC}=\frac{\left(ABX\right)}{\left(AXC\right)}=\frac{\left(PBX\right)}{\left(PXC\right)}=\frac{\left(ABX\right)-\left(PBX\right)}{\left(AXC\right)-\left(PXC\right)}=\frac{\left(ABP\right)}{\left(CAP\right)}[/math][br][br]Y similarmente, [br][br][math]\frac{CY}{YA}=\frac{\left(BCP\right)}{\left(ABP\right)}[/math] y [math]\frac{AZ}{ZB}=\frac{\left(CAP\right)}{\left(BCP\right)}[/math] (¡Demuéstrelo!)[br][br]Ahora, si multiplicamos cada proporción, obtenemos:[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=\frac{\left(ABP\right)}{\left(CAP\right)}\frac{\left(BCP\right)}{\left(ABP\right)}\frac{\left(CAP\right)}{\left(BCP\right)}=1[/math][br][br]Notamos que esto es cierto ya que los términos del numerador "cancelan" con los términos del denominador.[br]

Si tres cevianas [math]AX[/math], [math]BY[/math] y [math]CZ[/math] satisfacen[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=1[/math][br][br]entonces son concurrentes. [br][br][b]Demostración[/b]: [br][br]Supongamos que las primeras dos cevianas se intersecan en el punto P, y que la tercera ceviana que pasa por ese punto es [math]CZ'[/math]. Entonces, por la primera parte del Teorema:[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ'}{Z'B}=1[/math].[br][br]Pero estamos asumiendo que[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=1[/math][br][br]Por lo tanto, [math]\frac{AZ'}{Z'B}=\frac{AZ}{ZB}[/math], en donde [math]Z'[/math] coincide con [math]Z[/math], lo que nos demuestra que [math]AX[/math], [math]BY[/math] y [math]CZ[/math] son concurrentes.