Abstand von ...

fraupletsch, Jan 6, 2021

[b]Am Anfang gibt es nur einen Punkt. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zweier geometrischer Objekte.[/b] Bei der Suche nach Linien gleichen Abstands entdecken wir besondere geometrische Figuren. Das Buch wächst in den nächsten Wochen begleitend zum Unterricht (ab Januar 2021)

Table of Contents

  1. Punkte und Linien
    1. 1) Abstand von einem Punkt
    2. 2) Gleicher Abstand von zwei Punkten
    3. 3) Feste Abstands-Summe von zwei Punkten
    4. 4) ... noch mehr gleiche Abstände
    5. 5) Die Mittelsenkrechte konstruieren
    6. 6) Konstruktionsbeschreibungen
    7. 7) Abstand eines Punktes zu parallelen Geraden
    8. 8) Abstand eines Punktes zu sich schneidenden Geraden
    9. 9) Aus zwei mach drei
  2. Besondere Linien in Dreiecken
    1. 1) Mittelsenkrechten im Dreieck
    2. 2) Winkelhalbierende im Dreieck
    3. 3) Höhen im Dreieck
    4. 4) Flächeninhalt von Dreiecken
    5. 5) Seitenhalbierende im Dreieck
    6. 6) Rechtwinklige Dreiecke
    7. 7) Besondere Punkte und Linien in Dreiecken
    8. 8) Konstruieren von Dreiecken
    9. 9) Die Euler-Gerade
  3. Kongruenz
    1. 1) Kongruente Figuren
    2. 2) Was darf es denn sein?
    3. 3) Seite - Seite - Seite
    4. 4) Seite - Winkel - Seite

1.

Punkte und Linien

  • 1. 1) Abstand von einem Punkt
  • 2. 2) Gleicher Abstand von zwei Punkten
  • 3. 3) Feste Abstands-Summe von zwei Punkten
  • 4. 4) ... noch mehr gleiche Abstände
  • 5. 5) Die Mittelsenkrechte konstruieren
  • 6. 6) Konstruktionsbeschreibungen
  • 7. 7) Abstand eines Punktes zu parallelen Geraden
  • 8. 8) Abstand eines Punktes zu sich schneidenden Geraden
  • 9. 9) Aus zwei mach drei

1.1.

1) Abstand von einem Punkt

Wir finden alle Punkte, die in der Zeichenebene [b]von einem Punkt[/b] M den gleichen Abstand haben.
Alle Punkte, die in der Zeichenebene [b]von einem Punkt[/b] M den gleichen Abstand haben, ...
Der Abstand von M und A hat einen besonderen Namen. Er heißt:
Stell Dir vor, du zeichnest die Spur aller Punkte [b]im Raum[/b], die von M den gleichen Abstand haben.[br]Welche Figur ergibt sich?
Einfach Kreise zeichnen
Schlaue Menschen haben ausgeklügelte Geräte entwickelt, wie man Kreise schön und exakt zeichnen kann. [br]Wahrscheinlich hast Du auch ein solches Ding zu Hause, es wird als “Zirkel” für mehr oder weniger Geld verkauft. [br]Bitte leg es erstmal wieder weg und lass dich von dem Video inspirieren, um Deinen eigenen “Kreisomat” zu basteln. [br]Eine schöne Zeichnung aus vielen Kreisen, vielleicht auch noch bunt angemalt, würde dieses Thema für Dich gut abrunden :-)
– fraupletsch

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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2.

Besondere Linien in Dreiecken

  • 1. 1) Mittelsenkrechten im Dreieck
  • 2. 2) Winkelhalbierende im Dreieck
  • 3. 3) Höhen im Dreieck
  • 4. 4) Flächeninhalt von Dreiecken
  • 5. 5) Seitenhalbierende im Dreieck
  • 6. 6) Rechtwinklige Dreiecke
  • 7. 7) Besondere Punkte und Linien in Dreiecken
  • 8. 8) Konstruieren von Dreiecken
  • 9. 9) Die Euler-Gerade

2.1.

1) Mittelsenkrechten im Dreieck

a) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Zeichne ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten ABC auf ein leeres Blatt Papier. [br](Vereinbarung in Mathe: Bezeichnung mit ABC gegen den Uhrzeigersinn)[br]Konstruiere auf den drei Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten.[br][br][b]Die drei Mittelsenkrechten sollten sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.[/b][br][br]Erforsche mit der Geogebra-Zeichnung, ob wir vermuten können, dass sich die Mittelsenkrechten im Dreieck immer in einem Punkt schneiden. [br]In Zeichnung 1 ist die Konstruktion schon vorgegeben, in Zeichnung 2 kannst du alles selbst konstruieren. Wähle aus.
1) Bewege die Eckpunkte des Dreiecks
2) Erstelle ein Dreieck und die drei Mittelsenkrechten.
b) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck
Vermutung: Die Mittelsenkrechten eines beliebigen Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt.
Dürfen wir die Vermutung als immer gültigen Satz formulieren?[br]Also: “In allen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt”
c) Lage des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten im Dreieck
Lies die Argumentation genau durch. [br]Gehe nur zum nächsten Schritt, wenn du das Argument an einer Zeichnung nachvollziehen kannst..[br][list][*]Betrachte zwei Mittelsenkrechten, z.B. die auf AB und die auf BC. Diese schneiden sich auf jeden Fall in einem Punkt, nennen wir den Punkt M.[br][/*][*]Alle Punkte auf beiden Mittelsenkrechten sind gleich weit von den jeweiligen Eckpunkten entfernt.[/*][*]Also ist M sowohl von A und B als auch von B und C gleich weit entfernt.[/*][*]Damit ist M auch von A und C gleich weit entfernt[/*][*]M liegt also auf der Mittelsenkrechten von AC.[/*][*]Also schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt M.[/*][/list]Bis hierher haben wir gezeigt:[br][b]Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in jedem Dreieck in einem Punkt.[/b][br][list][*]M ist gleich weit von [b]allen drei[/b] Eckpunkten entfernt.[br][/*][*]Du hast den Kreis kennen gelernt als Ortslinie aller Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) gleich weit entfernt sind,[/*][*]Folglich liegen die drei Eckpunkte des Dreiecks auf einem Kreis. [/*][*]Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.[/*][/list]Hier wurde bewiesen:[br][b]Alle Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreis.[br][/b][br][color=#ff0000][size=150]Der Kreis, auf dem alle Eckpunkte eines Dreiecks liegen, heißt [b]Umkreis[/b] des Dreiecks.[br]Der Mittelpunkt des Umkreises ist der [b]Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.[/b][/size][/color]
Bewege die Eckpunkte des Dreiecks. Beobachte, wie sich der Umkreis verändert.
d) Zeichne selbst: Umkreis von Dreiecken konstruieren
Drucke die Datei “Drei Dreiecke” aus oder zeichne ähnlich aussehende Dreiecke selbst.[br]Nimm für jede Zeichnung ein neues leeres Blatt und zeichne jeweils das Dreieck groß genug in die Mitte.[br]Konstruiere jeweils die drei Mittelsenkrechten.[br]Beachte, dass die Hilfslinien zu sehen sein müssen.[br]Markiere den Umkreis-Mittelpunkt M.[br]Zeichne den Umkreis und ziehe die Kreislinie farbig nach.
Drei Dreiecke (Rechtsklick auf den Link, dann herunterladen oder in neuem Fenster öffnen)
Lage des Umkreis-Mittelpunkts
Bei [b]spitzwinkligen[/b] Dreiecken (alle Winkel unter 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...
Bei [b]rechtwinkligen[/b] Dreiecken (ein Winkel 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...
Bei [b]stumpfwinkligen[/b] Dreiecken (ein Winkel größer als 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...
– fraupletsch

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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3.

Kongruenz

Deutschlehrer würden sagen: Es ist die gleiche Figur, aber nicht die selbe.

  • 1. 1) Kongruente Figuren
  • 2. 2) Was darf es denn sein?
  • 3. 3) Seite - Seite - Seite
  • 4. 4) Seite - Winkel - Seite

3.1.

1) Kongruente Figuren

a) Was ist das?
Hier ist eine neue Vokabel zu lernen: [br][br][color=#ff0000][size=150]Zwei Figuren heißen [b]kongruent[/b], wenn sie in allen Seitenlängen und Winkeln übereinstimmen.[br][/size][/color][br]Man kann auch sagen: Kongruente Figuren sind [b]deckungsgleich[/b].[br][br]Das heißt, wenn Du beide Figuren ausschneidest und aufeinander legst, passen sie genau aufeinander - auch wenn Du eine Figur dafür umdrehen ("spiegeln") musst.
Gib die Paare von kongruenten Dreiecken ein:
Knacke die Schlösser! Schloss 1 hat drei Ziffern, Schloss 2 hat vier Ziffern. Die Zahlen von klein nach groß sortiert.
b) Natürlich können nicht nur Dreiecke kongruent sein
Kleine Bastelstunde - Girlanden bestehen meistens aus kongruenten Figuren
c) Finde die kongruenten Paare
Gib die Paare kongruenter Figuren an:
– Hubert Pöchtrager, MayrB, Beate Sorg, fraupletsch

3.2.

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3.3.

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3.4.

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