Um aus Vektoren u,v das Tensor-Produkt zu erzeugen müssen sie in Matrizen gewandelt werden:[br][list][*]transpose/transponieren nicht für Vektoren (transpose not for vectors)[/*][*]u v erzeugt das Skalarprodukt (u v Dotproduct)[/*][*]Zeilenmatrix (row matrix) [b]{[/b]{a[sub]1[/sub][b],[/b]a[sub]2[/sub][b],[/b]..[b],[/b]a[sub]n[/sub]}[b]}[/b] bzw. [/*][*]Spaltenmatrix (column matrix ) [b]{[/b]{a[sub]1[/sub]}[b],[/b]{a[sub]2[/sub]}[b],[/b]...[b],[/b]{a[sub]n[/sub]}[b]}[/b] [/*][*]Punkte (x1,x2,x3)/Vektoren Vector((x1,x2,x3)) und Zeilen{{x1,x2,x3}}-/Spalten{{x1},{x2},{x3}}-Matrix sind optisch nicht zu unterscheiden, was immer wieder zu Fehleinschäzungen führt - besonders ab Version 6.x, wo die Eingabezeile auch aufbereitet wird. [br][/*][/list][br][math]u=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right) =>\textcolor{red}{ u=\{\{1\},\{2\},\{3\}\} …oder... transpose(\{\{1,2,3\}\})}[/math] [br][math]v=\left(\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right) =>\textcolor{red}{v=\{\{2\},\{1\},\{3\}\} =>v^T= \{\{2,1,3\}\}…oder... transpose(\{\{2\},\{1\},\{3\}\})}[/math] [br][br][math]\large{\vec{u}\; \vec{v}^T}= \left(\begin{array}{rr}u_1 \; v_1&u_1 \; v_2&\hdots\\u_2 \; v_1&u_2 \; v_2&\hdots\\u_3 \; v_1&u_3 \; v_2&\hdots\\\vdots&\vdots\\ \end{array}\right) \to[/math] [math]\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}2&1&3\end{matrix}\right)[/math] [math]=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\4&2&6\\6&3&9\\\end{array}\right)[/math][br][br]Der Vektor des ersten Faktors muss als Spaltenmatrix und der Vektor des zweiten Faktors muss als Zeilenmatrix geschrieben werden! [br][br][b][b]CAS[/b] Convert Vector/ Matrix/List [br][br][/b][i]List2Vector:=Vector(Point({1,2,3}))[br]List2Vector:=Substitute((x, y,z),{x,y,z}=u)[/i][i][br]Vector2List:=Flatten({Vector(List2Vector)})[/i][br]cas([size=85]x(),y(),z() u.U problematisch in der Anwendung![/size]): u,v ggb-vector → [br][table][tr][td][i]Substitute({{x},{y},{z}} , {x,y,z}=u) [br]Substitute({{x,y,z}} , {x,y,z}=v)[/i][br] [/td][td][b]AlgebraView[/b][br]{{x(u)}, {y(u)}, {z(u)}} {{x(v), y(v), z(v)}}[br][br][/td][/tr][/table][b]Skalar-Produkt - dot product R[sup]n[/sup] n>3 [/b][br][i]u[sup]T[/sup] v = {{1,2,3,4}} {{2},{1},{3},{4}}[/i][br]u[sup]T[/sup] v = [math] \left(\begin{matrix}1&2&3&4\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\3\\4\end{matrix}\right)[/math] [math]→ \left(\begin{array}{r}29\\\end{array}\right)[/math][br]evtl. [i]Element(u[sup]T[/sup] v , 1, 1)[/i] oder [i]Sum(flatten(u[sup]T[/sup] v))[/i][br]um einen reinen Zahlenwert (ohne Matrix-Klammern) zu generieren.
Ausgehend von einer orthogonalen Projektion eines Punktes P auf einer Ebene E erhält man den Spiegelpunkt P’ im gleichen Abstand in Richtung des Normalenvektors n der Ebene.[br][br]E:=[color=#0000ff]n x + d[/color] = 0, |n|=1, E Heese-Normalform[br]P [math]\in[/math] E → [color=#0000ff]P n - d[/color] → Abstand P von E[br]P':= P - 2 ([color=#0000ff]P n - d[/color]) n[br][br][math]\large P‘:=\left(\vec{n} \vec{n }^{T} - id\right)P+2\, {d}\, \vec{n }[/math][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/zpz5ycv3]https://www.geogebra.org/m/zpz5ycv3[/url][math]\nwarrow[/math][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/gz3kcn7j]Householder Transformation [math]\nwarrow[/math] [/url]A = Q R[br][br][math]\to\;\left( id_n - 2 \frac{\vec{v_{1}}\vec{v_{1}}^{T}}{\vec{v_{1}}^2}\right)a_{i1} = a_{i1}'\\[/math]