a) Der Winkel muß 90° betragen, es muß ein rechter Winkel sein.[br]b) Wenn es kein rechter Winkel ist, dann könnten man die Verbindungslinie (sprich den Verbindungsvektor) in zwei senkrect aufeinander stehende Kompoenten zerlegen. Die Verbindungslinie ist dann die Hypothenuse, die beiden Komponenten sind die Katheten. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypothenuse aber immer länger als jede der beiden Kaheten! Die Komponente senkrecht zu den beiden Objekten (eine der beiden Katheten) ist dann die kürzest mögliche Verbindungslinie. Wir sind also wieder bei a)... :-)

Die Normalenform bietet sich an, da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht und damit die für die Abstandberechnung notwendige Richtung senkrecht zur Ebene schon gegeben ist.

a) Der Verbindungsvektor muß aufgrund der Projektionseigenschaft des Skalarprodukts mit einem zur Ebene im rechten Winkel stehenden Vektor multipliziert werden. Dies erzeugt die Komponente senkrecht zur Ebene des Verbindungsvektors [math]\vec{s}-\vec{p}[/math][br][br]b) Der Vektor senkrecht zur Ebene, der Normalenvektor muß die Länge 1 haben. Es muß der Normaleinheitsvektor [math]\vec{n_0}[/math] sein mit:[br][center][math]\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}[/math][br][/center]Im Ergebnnis muß man also um den Abstand zu berechnen den Verbindungsvektor [math]\vec{s}-\vec{p}[/math] mit dem Normaleinheitsvektor multiplizieren, man erhält damit die Komponente des Verbindungsvektors senkrecht zur Ebene - und damit den Abstand Punkt Ebene:[br][center][math]d=\left(\vec{s}-\vec{p}\right)\vec{n_0}[/math][br][/center]Damit haben wir die Gleichung zur Berechnung Abstand Punkt Ebene erhalten: die sogenannte Hessesche Normalenform[br][br]