Es kann vorkommen, dass beim Berechnen der Nullstellen eine Nullstelle mehrfach vorkommt. Beispielsweise könnte eine bereits geratene Nullstelle nach der Polynomdivision in der Rechnung erneut vorkommen:[br][br][u]Beispiel 1[/u]: [math]f\left(x\right)=2x^3-10x^2+14x-6[/math] durch Raten finden wir die Nullstelle [math]x_1=1[/math][br] Polynomdivision ergibt: [math]\left(2x^3-10x^2+14x-6\right):\left(x-1\right)=2x^2-8x+6[/math][br] Berechnung der weiteren Nullstellen. [math]2x^2-8x+6=0[/math] MNF: [math]x_2=1[/math], [math]x_3=3[/math][br][br]Hier kommt also die 1 ein zweites Mal als Nullstelle vor. Man spricht von [b]zweifacher Nullstelle[/b]. In der Linearfaktorzerlegung muss der entsprechende Linearfaktor auch zweimal aufgeführt werden:[br][br] [math]f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)[/math][br][br]In der Linearfaktorzerlegung erkennt man also eine zweifache Nullstelle am Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.[br][br][u]Beispiel 2[/u]: Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=3\left(x+2\right)\left(x+1\right)^3\left(x-4\right)^2[/math][br][br]Wir sehen, dass x[sub]1 [/sub]= -2 eine einfache, x[sub]2[/sub] = -1 eine dreifache und x[sub]3[/sub] = 4 eine zweifache Nullstelle von f ist.[br][br][u]Beispiel 3[/u]: Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=x^2\left(x+5\right)\left(x-2\right)[/math][br][br]Wir sehen, dass x[sub]1 [/sub]= 0 eine zweifache Nullstelle ist (beachten Sie: x[sup]2[/sup] lässt sich umschreiben in (x-0)[sup]2[/sup]! ). x[sub]2[/sub] = -5 und x[sub]3[/sub] = 2 sind einfache Nullstellen von f.

Beim Rechnen ergibt sich automatisch, ob die berechneten Nullstellen einfache oder mehrfache Nullstellen sind. Es gilt:[br][br][list][*]Ist einem beim Rechnen nichts besonderes aufgefallen, so liegt eine [b]einfache Nullstelle[/b] vor.[/*][/list][br][list][*][b]Taucht[/b] eine Nullstelle beim Rechnen wie in Beispiel 1 [b]mehrfach auf[/b], so liegt eine entsprechend [b]mehrfache Nullstelle[/b] vor.[/*][/list][br][list][*]Lässt sich ein [b]x, x[sup]2[/sup], x[sup]3[/sup] usw. ausklammern[/b], so ist [b]x = 0 eine einfache, zweifache, dreifache usw. Nullstelle[/b]. In der Linearfaktorzerlegung steht entsprechend ein Faktor x, x[sup]2[/sup], x[sup]3[/sup] usw. (vgl. Beispiel 3)[/*][/list][br][list][*]Kommt bei der [b]Mitternachtsformel beide Mal derselbe Wert[/b] heraus, so ist der entsprechende Wert eine [b]zweifache Nullstelle.[/b][/*][/list][br][u]Beispiel 4[/u]: [math]f\left(x\right)=2x^3-8x^2+8[/math] [br] Berechnung der Nullstellen: [math]2x^3-8x^2+8x=0[/math][br] [math]x\left(2x^2-8x+8\right)=0[/math][br] [math]x=0[/math] oder [math]2x^2-8x+8=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] MNF: [math]x_2=2[/math], [math]x_3=2[/math][br] Man sieht das x[sub]1[/sub] = 0 eine einfache und x[sub]2[/sub] = 2 eine zweifache Nullstelle ist. Die[br] Linearfaktorzerlegung sieht so aus: [math]f\left(x\right)=2x\left(x-2\right)^2[/math]

Man kann am Graphen einer Funktion eine mehrfache Nullstelle erkennen, weil sie nämlich verschieden aussehen. Allgemein gilt:[br][br][list][*]Eine [b]einfache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[/b], d.h. der Graph schneidet die x-Achse.[br][/*][*]Eine [b]zweifache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[sup]2[/sup][/b], d.h. der Graph berührt die x-Achse.[/*][*]Eine [b]dreifache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[sup]3[/sup][/b], d.h. der Graph schneidet die x-Achse.[/*][*]usw.[/*][/list][br]Die folgende Abbildung zeigt noch einmal diesen Zusammenhang.

Betrachten wir abschließend die Funktion f(x) in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x+1\right)^3\left(x-1\right)^2[/math][br][br]Sie hat eine einfache Nullstelle x[sub]1[/sub] = -2, eine dreifache Nullstelle x[sub]2[/sub] = -1 und eine doppelte Nullstelle x[sub]3[/sub] = 1. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von f.