Las curvas de nivel de una función [math]f[/math] de dos variables, son las curvas en el plano [math]XY[/math] cuya ecuación implícita es [math]f(x,y)=k[/math] si la curva corresponde al nivel [math]k[/math] (siempre que [math]k[/math] sea un valor en el rango de [math]f[/math], es decir, podría ocurrir que si [math]k[/math] es demasiado grande o pequeño la ecuación [math]f(x,y)=k[/math] no tenga solución).[br][br]Las curvas de nivel se pueden visualizar geométricamente como la proyección sobre el plano [math]XY[/math] de las curvas que se obtienen al intersecar la gráfica de [math]f[/math] con planos horizontales. La curva del nivel [math]k[/math] se obtiene al intersecar la gráfica de [math]f[/math] con el plano [math]z=k[/math].[br][br]Las curvas de nivel nos permiten representar la función [math]f[/math] en un plano, sin recurrir a su gráfica tridimensional. Puntos en la misma curva de nivel corresponden al mismo valor de [math]f[/math]. Si los valores [math]k[/math] se eligen equidistantes (por ejemplo [math]k=...,-2,1,0,1,2,...[/math]) entonces la existencia de curvas de nivel muy cercanas significa que la función varía mucho en esa zona, y curvas de nivel lejanas indican poca variación de la función.[br][br]El vector gradiente de [math]f[/math] en el punto [math]\text{\left(x_0,y_0\right)}[/math], [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)[/math], señala la dirección de máxima variación de [math]f[/math] desde ese punto.

En las construcciones anteriores a la derecha se pueden ver la gráfica de una función [math]f[/math], el plano [math]z=k[/math] (en azul claro) y la curva roja que es intersección de la gráfica de [math]f[/math] con el plano. [br][br]En la primera construcción, a la izquierda en color negro se pueden ver las curvas de nivel de [math]f(x,y)=3+x^2+xy+y^4[/math] para valores de [math]k[/math] naturales entre [math]2[/math] y [math]8[/math]. En la segunda construcción, a la izquierda se pueden ver las curvas de nivel de [math]f(x,y)=2+e^{x^3/3+x-y^2}[/math] para valores [math]k=2.5,3,3.5,5[/math]. Estas curvas también se pueden ver en el plano [math]XY[/math] de la representación tridimensional.[br][br]Al mover el deslizador [math]k[/math] en la parte superior izquierda, se mueve el plano horizontal que corta a la gráfica y también la curva de nivel roja correspondiente a cada valor de [math]k[/math].[br][br]Al marcar la casilla "Mostrar vector gradiente en un punto" se muestra el vector gradiente en un punto dado (en color azul), al mover el punto se va moviendo el vector gradiente. [br][br]¿Puedes intuir dónde va a señalar el vector gradiente en cierto punto? ¿Qué pasa con el vector gradiente si el punto escogido es un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo relativo?[br][br]