[size=150][size=200][color=#ff0000]Sección en progreso![/color][/size][u][br][/u][u][br]Máximos y mínimos absolutos para funciones de una variable en un intervalo cerrado.[br][/u][/size][br]El estudio de los máximos y mínimos absolutos de funciones [math]f(x)[/math] continuas de una variable [math]x[/math] en un intervalo cerrado [math][a,b][/math], que son diferenciables en el interior de [math](a,b)[/math], puede resumirse del siguiente modo. (Nos restringimos al estudio del máximo absoluto).[br][br](1) Encuentre los puntos críticos de [math]f(x)[/math] en [math](a,b)[/math] y halle el valor máximo de [math]f(x)[/math] en ellos,[br](2) Compare dicho valor máximo con los valores de [math]f(x)[/math] en [math]x=a[/math] y [math]x=b[/math], es decir con los valores de [math]f(x)[/math] en el borde del [math][a,b][/math] y determine cuál es el mayor.[br][br]Dejando de lado cuán fácil o difícil puede ser realizar el paso (1), (1)-(2) conforman la estrategia usual para hallar el máximo absoluto de [math]f(x)[/math].[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Halle el máximo absoluto de [math]f(x)=-x^{3}+x^{2}+x+3[/math] en [math][0,1][/math]. Hallamos los puntos críticos en [math](0,1)[/math]: [math]f'(x)=-3x^{2}+2x+1=0 [/math] resultando solamente [math]x=1/3[/math] ya que [math]x=1[/math] no está en [math](0,1)[/math]. Calculamos [math]f(1)=4[/math], [math]f(1/3)=-1/27+1/9+1/3+3[/math]. Por otro lado [math]f(0)=3[/math] y [math]f(1)=4[/math]. Por lo tanto el máximo absoluto se alcanza en el borde, en [math]x=1[/math]. [br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Máximos y mínimos absolutos para funciones de varias variables en un compacto.[br][/color][/u][/b][/size][br]Para funciones continuas [math]f:D\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}[/math] de varias variables en un compacto y que son diferenciables en el interior del compacto, el procedimiento (1)-(2) es válido como estrategia general:[br][br](1) Halle los puntos críticos de [math]f(x)[/math] en el interior de [math]D[/math] y determine el valor máximo de [math]f(x)[/math] en ellos.[br](2) Halle el valor máximo de [math]f(x)[/math] en el borde de [math]D[/math] y compare dicho valor con el máximo hallado en (1).[br][br]Dejando de lado lo fácil o difícil que pueda ser ejecutar el paso (1), en el paso (2) tenemos un problema que no encontramos anteriormente y que no está presente para funciones de una variable: el problema de hallar el máximo de una función restringida a un borde. [br][br]Consideremos funciones de dos variables [math]f(x,y)[/math]. También consideremos dominios compactos [math]D[/math], que son la clausura de un abierto y tal que su borde es una curva al menos diferenciable a trozos. Por ejemplo, puede ser [math]D[/math] un rectángulo junto a la región que encierra o una elipse junto a la región que encierra, aunque hay total libertad por lo demás. [br][br]Hay dos estategias básicas para determinar el máximo de una función restricto al borde del dominio compacto. La primera es parametrizar el borde por secciones (curvas) y estudiar el máximo de las correspondientes funciones de una variable. La segunda es usando multiplicadores de Lagrange. [br][br]Veamos un caso de la primera opción.[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Se pretende hallar el máximo absoluto de [math]f(x,y)=x^{2}y^{2}[/math] en el borde del rectángulo [math]D=[0,1]\times [0,1][/math]. Cada lado del cuadrado es una sección del borde que puede ser parametrizada:[br][br](i) [math]t\in [0,1]\rightarrow (0,t)\in \mathbb{R}^{2}[/math],[br](ii) [math]t\in [0,1]\rightarrow (t,1)\in \mathbb{R}^{2}[/math],[br](iii) [math]t\in [0,1]\rightarrow (1,t)\in \mathbb{R}^{2}[/math],[br](iv) [math]t\in [0,1]\rightarrow (t,0)\in \mathbb{R}^{2}[/math].[br][br]La función restricta a los lados (i) y (iv) es cero. Por otro lado la función restricta a los lados (ii) y (iii) es, como función de [math]t[/math], igual a [math]f(t,1)=f(1,t)=t^{2}[/math] que tiene como máximo el valor [math]1[/math]. Por lo tanto el valor máximo de [math]f(x,y)[/math] restricto al borde es igual a [math]1[/math] y se alcanza en el punto [math](1,1)[/math].[br][br][br]