Curvas y superficies en paramétricas
Se describen algunas de las curvas y superficies más conocidas expresadas en paramétricas
Table of Contents
- Curvas en R^2: Introducción
- Curvas en paramétricas
- Curvas en R^2: Ejemplos sencillos
- Ejemplos sencillos
- Curvas en R^2: Ejemplos clásicos
- Ejemplos clásicos
Curvas en paramétricas
Parametrización
Estamos acostumbrados a expresiones del tipo [math]y=f\left(x\right)[/math] para la descripción de curvas en el plano[br]Este tipo los representamos en coordenadas cartesianas (x,y) y se dice que es una. expresión en explícitas, es decir tenemos la y "despejada" en función de la variable x. Por ejemplo: [br][math]y=mx+n[/math] que es la gráfica de una recta.[br][math]y=ax^2+bx+c[/math] es la parábola. Las dos muy estudiadas en secundaria.[br]Otras veces tenemos expresiones del tipo [math]f\left(x,y\right)[/math], que serían en implícitas. Por ejemplo:[br][math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math], como expresión de una circunferencia de centro (a,b) y radio r.[br]Por último, otra forma de expreasar es poner las variables en función de otra (parámetro, de ahí su nombre) de la forma [math]x=f\left(t\right)y=g\left(t\right)[/math][br]
Definición
LLamaremos parametrización, a una función del estilo[br][math]X:I\rightarrow\mathbb{R}^2[/math][br][math]t\rightarrow\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)[/math][br]Donde [i]I [/i]es un intervalo. En ocasiones se puede considerar el tiempo, sobre todo, en aplicaciones físicas.[br]En el siguiente applet podrás practicar. Usa t como variable
En el siguiente, podrás comparar dos curvas.
Ejemplos sencillos
Ejemplos
Vamos a ver dos ejemplos de curvas clásicas: circunferencia, elipse
Ejemplo 1: Circunferencia
La circunferencia es una curva que podemos definir como: "Lugar geométrico de puntos que equidistan en uno dado", si aplicamos trigonometría podemos parametrizar de la siguiente forma
Ejemplos 2: Elipse
La parametrización es parecida pero con "difrentes radios"
Ejemplos clásicos
Ejemplos
En este apartado vamos a ver diferentes curvas en paramétricas, todas ellas muy conocidas[br]Se da la expresión y puedes variar algunos parámetros para observar diferentes posibilidades
Ejemplo 1: Lemniscata de Bernouilli
Esta curva es conocida porque su forma se usa como símbolo del infinito [math]\infty[/math][br]La definición es como lugar geométrico de puntos, de tal forma que el producto de las distancias de todos los puntos a dos puntos fijos llamados focos [i]F[/i][sub]1[/sub] y [i]F[/i][sub]2[/sub], situados a una distancia de 2[i]d[/i] entre sí, vale [i]d[/i][sup]2[/sup]
Ejemplo 2: Cardioide
Esta curva se llama así porque su forma recuerda a un corazón
Ejemplo 3: Cicloide
Se llama [b]Cicloide[/b] a la curva que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sobre una recta sin resbalar.
Ejemplo 4: Astroide
Se parece a una estrella
Astroide general
En este caso puedes variar un parámetro y ver cómo varía la curva