Função Afim
Livro - Função Afim
Table of Contents
- Introdução
- Conceito inicial
- Definição
- Atividade
- Gráfico da Função Afim
- Gráfico
- Atividade
- Coeficientes e a função afim
- Estudo dos Coeficientes
- Função Constante
- Função Linear
- Construção do gráfico da Função Afim
- Exemplos
- Atividade
- Sinal da Função Afim
- Estudo dos Sinais da Função Afim
- Atividade
- Raiz da Função Afim
- Raiz da Função
- Atividade
- Domínio, Contradomínio e Imagem da Função
- Definição
- Domínio da Função
- Contradomínio / Imagem
- Teste
- Atividades Complementares
- Referências
- Referências
Conceito inicial
[color=#ff0000][b] Leia atentamente os exemplos abaixo.[/b][/color][br][br][b][color=#0000ff] Exemplo 1. [/color][/b][br] [justify] Todos os anos, Bruna participa de uma feira de comidas nordestinas. Para isso, ela separa os valores referentes aos ingredientes e à mão de obra, o que representa R$ 1.200,00. Por dia, o aluguel do espaço é de R$ 80,00. Considerando apenas os valores citados, quanto Bruna gastará se oferecer seus produtos durante 5 dias, período de duração da feira?[br] [br] Nessa situação, temos um gasto fixo, correspondente aos ingredientes e à mão de obra, que independe da quantidade de dias em que ela estará na feira, e um gasto variável, correspondente ao número de dias. Assim, o gasto total de Bruna será composto dessas duas parcelas:[/justify] [br] [b]Valor gasto = gasto fixo + valor total dos dias[br][br][/b] O valor a ser gasto na feira por 5 dias pode ser calculado da seguinte maneira:[br][br] [math]1.220+5\cdot80=1.200+400=1.600[/math][br] Portanto, Bruna gastará R$ 1.600,00 em cinco dias.[br][br][br] Percebemos que o valor [math]g\left(x\right)[/math] gasto na feira é função da quantidade [math]x[/math] de dias. Assim,[br][br] [math]g\left(x\right)=1.200+80\cdot x[/math][br][br] Essa sentença é um exemplo de lei de formação de uma função afim.[br][br][br][b][color=#0000ff] Exemplo 2.[/color][/b][br] Na entrada de um estacionamento, encontra-se a seguinte placa: [br][br][br] [b][color=#38761d] ESTACIONAMENTO[/color][br][/b][br] [b]Taxa de Ingresso:[/b] [color=#ff0000]R$ 10,00[/color][br] [b]A partir da 1º hora:[/b] [color=#ff0000]R$ 5,00 (por hora)[/color][br][br] O preço a pagar para se estacionar um carro é composto por uma quantia variável. Então, o preço que uma pessoa deve pagar, por deixar seu carro [math]x[/math] horas ali estacionado, será:[br][br] [math]f\left(x\right)=10+5\cdot x[/math][br][br]_______________________________________________________________________________________________________________________[br][br] [justify] As funções deste tipo, tanto do problema 1 quanto do problema 2, onde a variável [math]x[/math] (no caso, o número de dias na feira - problema 1, ou número de horas no estacionamento - problema 2) está sujeita ao expoente 1, são chamadas[b] Função Afim [/b]ou, ainda, [b]Função do 1º grau[/b].[/justify][br]
Gráfico
Consideremos a função [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] dada por [math]y=2x-1[/math] e representaremos graficamente alguns de seus pontos.[br][br][table][tr][td][color=#ff0000] x [/color][/td][td][color=#ff0000] y [/color][/td][/tr][tr][td]-2[/td][td]-5[/td][/tr][tr][td]-1[/td][td]-3[/td][/tr][tr][td] 0[/td][td]-1[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 1[/td][/tr][tr][td] 2[/td][td] 3[/td][/tr][/table]
Como os pontos representados foram escolhidos ao acaso, a intuição leva a concluir que todos os pontos de uma função do 1º grau são alinhados, isto é, que [b]o gráfico da função do 1º grau é uma reta[/b].[br][br][br] Como dois pontos são suficientes para determinar uma reta, então será suficiente desenhar em [math]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/math] dois pontos de cada função do 1º grau para determinar o seu gráfico.[br][br] Assim, representemos [math]y=2x-1[/math][br][br][table][tr][td][color=#ff0000]x[/color][/td][td][color=#ff0000]y[/color][/td][/tr][tr][td]0[/td][td]-1[/td][/tr][tr][td]1[/td][td]1[/td][/tr][/table]
[i][color=#ff0000]O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta do plano cartesiano.[/color][/i]
Estudo dos Coeficientes
Vamos analisar o significado dos números [math]a[/math] e [math]b[/math] da função do 1º grau [math]f\left(x\right)=ax+b[/math].[br][br] 1. [b]Significado de [/b][math]b[/math][br] [br] Dada a função [math]y=ax+b[/math], com [math]a\ne0[/math], é imediato que para [math]x=0[/math] tem-se:[br][br] [math]y=a\cdot\left(0\right)+b[/math][br][br] [math]y=b[/math],[br]ou seja, [math]\left(0,b\right)\in f[/math].[br][br]
Então, o coeficiente [math]b[/math] indica o [b]ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas (eixo y)[/b].[br][br] Ou seja, [math]b[/math] é o valor algébrico do segmento determinado pela origem e pelo ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Chamaremos este coeficiente de [b]coeficiente linear[/b].
2. [b]Significado de[/b] [math]a[/math][br][br] Consideremos os pontos [math]A\left(x_1,y_1\right)\in f[/math] e [math]B\left(x_2,y_2\right)\in f[/math].[br][br] [math]\left(x_1,y_1\right)\in f\Rightarrow y_1=ax_1+b[/math] I[br][br] [math]\left(x_2,y_2\right)\in f\Rightarrow y_2=ax_2+b[/math] II[br][br] Considerando as igualdades I e II e subtraindo-se membro a membro, temos:[br][br] [math]y_2=ax_2+b[/math][br] -[br] [math]y_1=ax_1+b[/math] [br] _____________________[br] [math]y_2-y_1=a\left(x_2-x_1\right)[/math][br][br] [math]a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math]
Então, [math]a[/math] é a [b]razão entre os catetos do triângulo retângulo[/b] [math]ABB'[/math] da figura.[br][br] Observe que isto ocorre para quaisquer dois pontos escolhidos, uma vez que os triângulos formados são semelhantes.
Esta razão é constante para cada reta e depende só do ângulo que a reta forma com o semieixo positivo das abscissas (inclinação da reta).[br][br] [br][br]
Exemplos
Exemplo 1
[b] Seja [/b][math]y=2x-2[/math][br][br][table][tr][td][color=#ff0000]x[/color][/td][td][color=#ff0000]y[/color][/td][/tr][tr][td]0[/td][td]-2[/td][/tr][tr][td]1[/td][td]0[/td][/tr][tr][td]2[/td][td]2[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]4[/td][/tr][/table]
[math][/math] Examinando [math]a[/math] e [math]b[/math], vem:[br][br] [math]a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math][br] [br] ou[br][br] [math]a=\frac{4-0}{3-1}[/math][br][br] [math]a=\frac{4}{2}[/math][br][br] [math]a=2[/math][br][br] Portanto, [math]a=tg\left(\alpha\right)=2[/math] e, como vemos no gráfico, [math]b=-2[/math].[br][br]
Exemplo 2
[b]Seja[/b] [math]y=-x+3[/math][br][br] [table][tr][td][color=#ff0000]x[/color][/td][td][color=#ff0000]y[/color][/td][/tr][tr][td]0[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]0[/td][/tr][/table]
Examinando-se [math]a[/math] e [math]b[/math], vem:[br][br] [math]a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math][br][br] ou[br] [br] [math]a=\frac{3-0}{0-3}[/math][br][br] [math]a=-1[/math][br][br] Portanto, [math]a=tg\left(\alpha\right)=-1[/math] e, como observamos no gráfico, [math]b=3[/math]
Exemplo 3
[b]Seja[/b] [math]y=2,\forall x\in\mathbb{R}[/math].[br][br] O gráfico, neste caso, é paralelo ao eixo das abscissas, pois [math]y=2,\forall x\in\mathbb{R}[/math].[br][br]
Examinando-se [math]a[/math] e [math]b[/math], vem:[br][br] [math]a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math][br][br] ou[br] [br] [math]a=\frac{2-2}{3-1}[/math][br][br] [math]a=\frac{0}{2}[/math][br][br] [math]a=0[/math][br][br] Portanto, [math]a=tg\left(\alpha\right)=0[/math] e, observando o gráfico, [math]b=2[/math].
Estudo dos Sinais da Função Afim
Como vimos anteriormente, a lei de formação de uma função afim, também chamada de função do 1º grau, possui a seguinte característica:[br][br] [math]y=ax+b[/math] ou [math]f\left(x\right)=ax+b[/math],[br][br]em que os coeficientes [math]a[/math] e [math]b[/math] pertencem aos números reais, diferentes de zero. [br][br][br] Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente [math]a[/math].[br][br][list][*]Se o coeficiente [math]a[/math] possui [b]sinal positivo[/b], a [b]função é crescente.[/b][/*][*]Caso o coeficiente [math]a[/math] tenha [b]sinal negativo[/b], a [b]função é decrescente.[/b][/*][/list][br][br] Na[b] função crescente[/b], à medida que os valores de [math]x[/math] aumentam, os valores de [math]y[/math] também aumentam; ou, à medida que os valores de [math]x[/math] diminuem, os valores de [math]y[/math] diminuem.[br][br] No caso da [b]função decrescente[/b], à medida que os valores de [math]x[/math] aumentam, os valores de [math]y[/math] diminuem; ou, à medida que os valores de [math]x[/math] diminuem, os valores de [math]y[/math] aumentam.
Função Crescente: a>0
Função Decrescente: a<0
Raiz da Função
Calcular o valor da raiz de uma função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0.[br]Observe a representação gráfica a seguir, da função f: y = 2x - 3:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:[br][br]y = ax + b[br]y = 0[br]ax + b = 0[br]ax = –b[br]x = –b/a[br][br]Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = –b/a[br][br]Por exemplo, aplicando a expressão "x = -b/a" para calcular o valor da raíz na função do gráfico acima:[br]f : y = 2x - 3 [br] x = -(-3)/2[br]x = 3/2[br]x= 1,5 [br][br]Logo o ponto de intercecção entre a reta e o eixo das abcissas será no ponto (1,5; 0), como podemos notar na representação gráfica abaixo:[br]
Definição
[justify] O [b]domínio, o contradomínio e a imagem de uma função[/b] são conjuntos importantes para definirmos o que é função e compreendermos melhor o seu comportamento. [br][br] Uma [b]função é uma relação entre dois conjuntos domínio e contradomínio[/b] em que, para cada elemento do domínio, existirá um único correspondente no contradomínio, esse [b]correspondente é conhecido como imagem[/b].[br] [br] Por exemplo, se a função pega elementos do domínio e relaciona-os com o dobro deles no contradomínio, 2 estará relacionado com 4, logo, a imagem da função para 2 é igual a 4. Ao juntarmos todas as imagens, formamos o conjunto das imagens, que são todos os elementos do contradomínio correspondentes a algum elemento do domínio.[/justify][br][br][br][br]
Função
[justify] Para entender o que são domínio, contradomínio e imagem, precisamos definir o que é função.[br][br] Conhecemos como função[b] uma relação entre dois conjuntos A e B[/b], em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. Perceba que na função os valores do conjunto A, conhecido como domínio, são relacionados aos seus correspondentes no conjunto B, conhecido como contradomínio, dependendo do comportamento dessa função, o que conhecemos como lei de formação.[/justify][br][br]
Exemplo 1.
Trata-se de uma função, pois satisfaz a definição, todo elemento de A possui um único correspondente em B.
Exemplo 2.
Não se trata de uma função, pois há elementos no domínio que não possuem correspondente em B, o que contradiz a definição.
Também não é uma função, pois há elementos do conjunto A que possuem dois correspondentes no conjunto B, o que contradiz a definição.
Exemplo 4.
É função, pois as restrições são para o domínio, ou seja, o conjunto A não tem problema algum caso sobre elementos no contradomínio ou caso exista um elemento de B correspondente a dois elementos distintos em A.
Atividades Complementares
1
Se [math]f\left(x\right)=3x+2[/math], qual o valor de [math]x[/math] para que [math]f\left(x\right)=5[/math]?
2
Considere a função f(x) = -2x + 1. Os valores de f(0), f(2), f(-1) e f(5), são, respectivamente:[br]
3
Uma função do 1º grau é dada por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(1) = 5 e f(-3) = -7. Essa função é:
4
Qual das funções abaixo é decrescente?
5
Seja a função [math]f\left(x\right)=3x+2[/math],
6
Assinale a alternativa [b]falsa[/b]
7
Em certa cidade, a assinatura residencial de uma linha telefônica custava R$ 34,50 e dava direito à utilização de 100 minutos mensais. Caso o consumidor excedesse os 100 minutos, ele pagaria R$ 0,08 por minuto excedente.
a) Qual é a lei de formação para este problema?
b)
Quanto o consumidor pagaria por essa conta se utilizasse 82 minutos em um mês? E se utilizasse 300 minutos?
c)
Se, em uma residência dessa cidade, houvesse três linhas telefônicas, qual seria o valor mínimo gasto com telefone em um mês?
Referências
[justify][/justify][justify]Conexões com a Matemática: (Ensino Médio) I. 3.ed. São Paulo: Moderna, 2016.[br][br]LESSA, José Roberto. Função Afim. Disponível em:<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-uma-funcao-1-grau.htm>. Acesso em 08.fev. 2021.[br][br]NETTO, Scipione Di Pierro. Matemática: 2º grau. São Paulo: Scipione Autores Editores, v.1, 1984.[br][br]OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Disponível em:<https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/dominio-contradominio-imagem-uma-funcao.htm>. Acesso em 08. fev. 2021.[br][br]RIBEIRO, Amanda Gonçalves. Função Linear; [i]Brasil Escola[/i]. Disponível em:<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm>. Acesso em 04 de fevereiro de 2021.[br][br]SANTOS, Thamires. Função Afim. Disponível em:<https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/funcao-afim>. Acesso em 01. jan. 2021.[br][br]SILVA, Luiz Paulo Moreira. Domínio, contradomínio e imagem. Disponível em:<https://www.preparaenem.com/matematica/dominio-contradominio-e-imagem-de-uma-funcao.htm>. Acesso em 08. fev. 2021.[br][br]SILVA, Marcos Nóe Pedro. Raiz de uma função do 1º grau. Disponível em:<https://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/>. Acesso em 08. fev. 2021.[br][br][/justify]