Radians
Table of Contents
- Relació entre perímetre i diàmetre d'una circumferència
- El nombre pi
- Relació entre perímetre i radi d'una circumferència
- Radi i perímetre
- El radian
- Radians i graus
- Animació per il·lustrar els radians
- Radian: explicació addicional
- DEG a RAD i RAD a DEG
- Funcions trigonomètriques
- Les funcions sinus, cosinus i tangent
El nombre pi
Si actives l'animació, veuràs que [b]el diàmetre d'una circumferència cap tres vegades en el seu perímetre[/b] i que [b]queda un petit fragment sense cobrir[/b].[br][br]Aquest petit [b]fragment té una longitud d'aproximadament 0.14 vegades el diàmetre[/b]. Això és així per a qualsevol circumferència, gran o petita (pots comprovar-ho canviant les dimensions de l'animació amb la barra lliscant).[br][br][b]Per tant, el perímetre és 3.14 vegades el diàmetre de qualsevol circumferència[/b]. Aquesta proporció és la que defineix el valor de pi, que és un nombre irracional (té infinites xifres decimals no periòdiques). Gràcies a l'ús de potents ordinadors, coneixem més de 31 bilions de xifres decimals de pi.[br][br]S'empra la lletra grega [math]\pi[/math] per representar aquest nombre des del segle XVI perquè és l'equivalent grec a la "p" de "perímetre".[br][br][math]Perímetre=\pi·d[/math]
Radi i perímetre
Si el diàmetre cap un nombre pi de vegades al perímetre d'una circumferència, quantes vegades hi cabrà el radi, que és la meitat de gran? Òbviament, el doble (aproximadament, 6.28 vegades).[br][br]Per aquest motiu podem emprar tant la fórmula[br][br][math]Perímetre=2·\pi·r[/math][br][br]com la fórmula[br][br][math]Perímetre=\pi·d[/math][br][br]Com és obvi, ambdues són totalment equivalents; només reemplaçam el diàmetre [i]d[/i] per el seu equivalent en radis, [i]2·r[/i].
Radians i graus
Mou el punt vermell per canviar el radi de la circumferència i després desplaça el punt blau per variar l'angle [math]\alpha[/math] representat.[br][br]Observa la relació entre [b]la longitud de l'arc subtendit[/b] per aquest angle (que queda [b]dibuixat en blau[/b]) i el [b]radi[/b] de la circumferència ([b]en vermell[/b]). Tens aquesta relació calculada en vermell a la part superior esquerra.[br][br]Aquesta divisió ens dóna una mesura de l'angle expressada en radians, una alternativa als graus molt emprada en ciència.[br][br]Els [b]radians que obtens representen l'angle[/b] que has configurat [b]i també l'arc que ha quedat subtendit[/b] per aquest angle.[br][br]Prova a generar un angle de 360º. Quants radians seran? La resposta és òbvia si has entès els apartats anteriors d'aquest llibre: aproximadament 6.28 (per dir-ho més exactament, [math]2\pi[/math]). És a dir, 360º són [math]2\pi[/math] radians.[br][br]360º=[math]2\pi[/math] rad[br][br]Aquesta relació et permet, mitjançant regles de tres o factors de conversió (més elegant), passar de graus a radians i viceversa.[br][br]Simula ara (ni que sigui aproximadament) els següents graus i calcula quants radians són:[br][br]180º, 90º, 45º, 60º, 30º, 0º.
[b]Applet extret de la web [url=https://geometriadinamica.es/]https://geometriadinamica.es/[/url] creada pel grup G4D: Rafael Losada, Manuel Sada, José Antonio Mora y José Manuel Arranz.[/b]
Les funcions sinus, cosinus i tangent
[left][size=100]En aquesta finestra podeu observar com es generen les funcions trigonomètriques sinus, cosinus i tangent a partir d'una circumferència trigonomètrica. Amb el botó de la part inferior esquerra, podeu parar i tornar a engegar l'animació. Una vegada parada, podeu canviar l'angle manualment amb el punt lliscant. També podeu fer visible cadascuna de les gràfiques de les funcions activant la casella corresponent.[/size][/left]
[left][size=100] Quines diferències i semblances veieu entre aquestes tres funcions?[br] Quins són els períodes d'aquestes funcions?[br] Per a quins angles el sinus és igual al cosinus?[br] Quin desfasament existeix entre les funcions sinus i cosinus?[br] Per a quins angles la tangent coincideix amb el sinus o amb el cosinus?[br] Per què la funció tangent és discontínua?[/size][/left]