M3.V.14a A2 ABL Ebenen im Raum

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Ebenen mit Vektoren beschreiben

Erinnerung:[br]Sie haben im Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/akutpmvr][color=#095EBC]M3.V.12 A2 AB Geraden im Raum[/color][/url] Geraden als Punktmengen identifiziert. Genauso lassen sich Ebenen als Punktmengen auffassen.[br][br]Jeder Punkt [math]\vec{X}[/math] auf der Gerade kann von einem Bezugspunkt [math]\vec{P}[/math] aus über ein Vielfaches des Richtungsvektors [math]s \cdot \vec{v}[/math] erreicht werden, wie die Geradengleichung [math]\vec{X}=\vec{P}+t \cdot \vec{v}[/math] verdeutlicht. Die Form dieser Gleichung beinhaltet einen variablen Parameter [math]s[/math] und heißt deshalb [b]Parameterform[/b]. [br][br]Möchte man nun von einem Bezugspunkt [math]\vec{P}[/math] in der Ebene aus alle anderen Punkte in der Ebene erreichen, genügt nicht ein Richtungsvektor (eine Raumrichtung).[br]Vollziehen Sie die Ebenengleichung im folgenden Applet nach.

Aufgabe 1

Führen Sie im folgenden Applet Schritt für Schritt die Konstruktion mit den Pfeilen unter der 3D-Ansicht durch. [br]a) Blenden Sie die Vektoren [math]\vec{u_x}=s \cdot \vec{u}[/math] bzw. [math]\vec{v_x}=t \cdot \vec{v}[/math] ein und verändern Sie die Faktoren [math]s, t[/math] so, dass der Punkt [math]\vec{P}[/math] erreicht wird und notieren Sie die Werte.[br]b) Geben Sie drei weitere Punkte [math]\vec{D_1}, \vec{D_2}, \vec{D_3}[/math] an, die in der Ebene liegen.

M3.V.14a A2 App Ebenen im Raum

[size=150][color=#cc0000]||[/color][color=#1155cc] [b]Benutzerhinweise zum obigen Applet[/b][/color][/size][br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] Nutzen Sie die Pfeile der Navigationsleiste unter der 3D-Ansicht, um die Konstruktion zu untersuchen. [br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] Rechts erscheinen Schieberegler für s und t, mit denen Sie die Vektoren [math]\vec{u_x}[/math] bzw. [math]\vec{v_x}[/math] [br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] als Vielfache von [math]\vec{u}[/math] bzw. [math]\vec{v}[/math] verändern können, um den Punkt P zu erreichen.[br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] Klicken Sie die Kreise links neben [math]\vec{u_x}[/math] bzw. [math]\vec{v_x}[/math] an, um diese links einzuzeichnen.[br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt[br]

Aufgabe 2: Ebenen in Parameterform

Erstellen Sie unten in der RechnerSuite im 3D-Rechner eine Ebene durch die Punkte da der Parameter [math]\vec{A}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/math], [math]\vec{B}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/math] und [math]\vec{C}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}[/math]. Geben Sie die Parameterform der Ebenengleichung an und prüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt [math]\vec{D}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/math] in der Ebene liegt.

GeoGebra Rechner Suite 3D

[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel und Jürgen Roth.[/i]