このページはマス旅の一部です。[br][br]アファイン平面に無限遠点と無限遠直線を追加することで、[br][b]有限体F2からできたPG(2,2)={0,1}^2[/b]という、[br][b]点も直線も７ある最小世界[/b]の存在を知った。これが「ファノ平面」だ。[br][br]今回はファノ平面の視覚化をやってみよう。[br][br]

[size=200][color=#0000ff]ファノ平面は最小の射影平面です[/color][/size]。[br]その特徴を思い起こしてみよう。[br][br][b]＜７点＞[/b][br]F2ベースのPG(2,2)の７点[br]p0[0,0,1],p1[0,1,1],p2[1,0,1],p3[1,1,1],[br]p1∞[0,1,0],p2∞[1,0,0],p3∞[1,1,0][br][br][b]＜7直線＞[br][/b]L01:1x＋0y＋0z=0 {[0,0,1],[0,1,1],[0,1,0]}　x=0[br]L02:0x＋1y＋0z=0 {[0,0,1],[1,0,1],[1,0,0]} y=0[br]L03:1x＋1y＋0z=0 {[0,0,1],[1,1,1],[1,1,0]} x+y=0[br]L23:1x＋0y＋1z=0 {[1,0,1],[1,1,1],[0,1,0]} x+z=0[br]L13:0x＋1y＋1z=0 {[0,1,1],[1,1,1],[1,0,0]} y+z=0[br]L12:1x＋1y＋1z=0 {[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]} x+y+z=0[br]L∞:0x＋0y＋1z=0 {[0,1,0],[1,0,0],[1,1,0]} z=0[br][br][b]＜交点と共線＞[br][/b]外積を使うことで、2点の共線、２線の交点を求めることができた。[br]まあ、それをやらなくても、各直線は3点を通る。[br]

[br]アフィン平面をベースにしてPG(2,2)を作った関係上、[br]どうしても、追加された点や直線は特別扱いしがちだ。[br][br]しかし、双対性の原理、同次座標のメリットから考えれば、[br]むしろ「組み合わせ論的」に見直しが必要になるでしょう。[br][br]７つの点を「アフィンの4点」を基準にすることをやめる。[br][br][0,0,0]は不定だから除いた。[br][br]普通に考えれば、[br]単位ベクトル的な風貌の[br]A[1,0,0],B[0,1,0],C[0,0,1]が基準になるでしょう。[br]すると、三角形ABCができる。[br][br]三角形の重心がG[1,1,1](連比だから÷３は不要）[br][br][b]＜中点＞[/b][br]すると、点ベクトルをたすだけで中点ベクトルが出せるね。（÷２は不要）[br]A+B=[1,0,0]+[0,1,0]=[1,1,0]はCの対辺上。[br]B+C=[0,1,0]+[0,0,1]=[0,1,1]はAの対辺上。[br]C+A=[0,0,1]+[1,0,0]=[1,0,1]はBの対辺上。[br][br][b]＜ファノ平面独自の表記＞[br]A,B,C,Gは座標の[,]を略してつなぎ、p_100,p_010,p_001,p_111[br]A+B,B+C,C+Aは、p_110,p_011,p_101とかく。[br][br][/b]そして、すると、直線は3辺の3本、頂点と対辺を結ぶ3本。[br]あと1本は３中点を結ぶ線で、これは円にするしかない。[br][br]有限体の射影幾何は「交点、共線」が重要であり、[br]「向きやなめらなさ」はどっちでもよくなる。[br]わりと位相幾何に近い世界になってきてるね。[br][br][color=#9900ff][u][b][size=150]課題：ファノ平面をgeogebraで視覚化しよう。[br][/size][/b][/u][/color][br]geogebraの極座標表示を使うとカンタンに円周3等分の位置ベクトルが作れます。[br]（ｒ；θ）のｒが原点からの距離、θがｘ軸の正部分からの角度です。[br]P_{100}=(2; ((π)/(2)))[br]P_{010}=(2; ((π)/(2))+2 pi/3)[br]P_{001}=(2; ((π)/(2))+4 pi/3)[br]P_{111}=(0; 0)[br]P_{011}=(1; ((3 π)/(2)))[br]P_{101}=(1; ((3 π)/(2))+2 pi/3)[br]P_{110}=(1; ((3 π)/(2))+4 pi/3)[br]Segment(P_{100},P_{010})[br]Segment(P_{100},P_{001})[br]Segment(P_{010},P_{001})[br]Segment(P_{100},P_{011})[br]Segment(P_{010},P_{101})[br]Segment(P_{001},P_{110})[br]Circle(P_{111},1)[br][br]Segmentのラベルは非表示にして、格子も軸も表示のチェックをはずします。[br]また、背景は全体の設定の上級から好きな色を選びましょう。

[br]３. ファノ平面を組み合わ論的にみる[br][br][b][size=150]＜双対性＞[/size][/b][br]ファノ平面は、7つの点と7つの直線がある不思議な図形ではありません。[br]図形としての対称性と、点と線の対称性（双対性）が両立していますよ。[br][br]全体の点の数: 7個[br]全体の直線数: 7本[br][color=#0000ff][b]任意の１直線にある点の数: 3個[br]任意の１点を通る直線の数: 3本[br]任意の異なる2点は必ずちょうど1本の直線で結ばれる。[br]任意の異なる2直線は必ずちょうど1つの点で交わる。[br][/b][/color][br][b][size=150]＜８元数（オクトニオン）と同型＞[/size][/b][br][br][br]実は、このファノ平面の「3点が乗った7つの直線」という組み合わせ構造は、[br]８元数（Octonion ）の積の法則と1対1対応しています。[br][br]８元数は 7 つの虚数単位 e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7 を持ちますが、[br]ファノ平面の7つの直線（円を含む）に[b]向き（矢印）をつける[/b]と、[br][br]同じ直線上の3点 e_i, e_j, e_k について [br][b][size=150][color=#0000ff]e_i ◦ e_j = e_k (逆方向なら -e_kで、自分自身との積はー１)[br][/color][/size][/b]という非巡回的な積のルールがそのまま再現できるのです。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：「任意の」の具体化と８元数の表の作成をしてよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]行に「7つの点」、列に「7つの直線」を並べた7行7列の行列を作ります。[br]成分は、点 p_{xyz} と直線 L の関係を、1（載っている）と0（載っていない）として調べたものです。[br][b]接続行列（Incidence Matrix）[/b]を作ってみましょう。[br][br]図形のアプレットにします。[br]テキストの挿入を選び、次のようなLatex文で表を作ります。[br][br]タイトルは「ファノ平面と8元数の積の対応」[br][br]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\ ある & L_{01}& L_{02} & L_{03} & L_{13} & L_{23} & L_{12} & L_{\infty}　[br]\\ \hline p_{100} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 [br]\\ p_{010} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 [br]\\ p_{001} & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 [br]\\ p_{110} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 [br]\\ p_{011} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 [br]\\ p_{101} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 [br]\\ p_{111} & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 [br]\\ \end{tabular}[br][br]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\ ◦ & e_{1}& e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7}　[br]\\ \hline e_{1} & -1 & e_{4} & e_{7} & -e_{2} & e_{6} & -e_{5} & -e_{3} [br]\\ e_{2} & -e_{4} & -1 & e_{5} & e_{1} & -e_{3} & e_{7} & -e_{6}[br]\\ e_{3} & -e_{7} & -e_{5} & -1 & e_{6} & e_{2} & -e_{4} & e_{1} [br]\\ e_{4} & e_{2} & -e_{1} & -e_{6} & -1 & e_{7} & e_{3} & -e_{5}[br]\\ e_{5} & -e_{6} & e_{3} & -e_{2} & -e_{7} & -1 & e_{1} & e_{4}[br]\\ e_{6} & e_{5} & -e_{7} & e_{4} & -e_{3} & -e_{1} & -1 & e_{2}[br]\\ e_{7} & e_{3} & e_{6} & -e_{1} & e_{5} & -e_{4} & -e_{2} & -1[br]\\ \end{tabular}[br][br]最小の射影平面であるファノ平面の「点と直線の接続関係」に向きを1つ与えるだけで、[br]8次元空間の非巡回・非結合的な「代数演算」のルール（積の表）ができるのです。[br][br]幾何の構造が代数のルールを決めるというのが面白いですね。