[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][/size][size=150][size=100]実数の世界では、y＝f(x)の微分はグラフのx=aからbまでの微小変化に対するｙの微小変化⊿y/⊿x平均変化率をｘ＝ｂをx=aに近づけることで（a, f(a))での傾き、微分係数f'(a)を求める、[br]それをx=aに限らずｘ全体で実行したときのｘの関数、導関数ｆ'(x)を求めことだったね。[br][br]複素数の世界ではｗ=f(z)の微分はｚの微小変化に対するｗの微小変化⊿ｗ/⊿ｚをｚ＝ｂをｚ＝aに近づけることで、極限値、微分係数f'(a)を求める。[br]それを全体化して導関数ｆ'(x)を求めることだ。大きな決まりは同じだ。[br]しかし、大きなちがいがある。[br][br]ｚ＝bをｚ＝aに近づけるときの経路が一本道ではないことだ。[br]無数の近づき方があるので、[b][color=#0000ff]微分できる保証はない[/color][/b]。[br]近づき方によっては、極限値が別になってしまうかもしれないからだ。[br]また、平均変化率は⊿ｗ/⊿ｚだから、平面での点移動複素数の商だから、[br][b]傾きというイメージにはならない[/b]。[br]⊿ｗも⊿ｚも複素数だから、大きさと偏角がある。[br]そして、その商は回転拡大になっている。だから、[b]傾きというよりは平面をひねってのばず変形度[/b]という感じになる。[br]そこのところをくわしく見ていこう。[br][br][/size][b]＜領域Dで正則＞[br][/b][/size]ｚの関数f(z)が定義域の点ｚ＝aで経路にかかわりなく、極限[math]lim_{z\longrightarrow a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}[/math] が存在するときに[br]w=f(a)はz=aで微分可能といい、極限値を微分係数といい、[b]f'(a)[/b]とかく。微分係数があれば、z=aで連続だというのは実関数と同じ。[br]領域Dのすべての点で微分可能なときに、ｆは[b]領域Dで正則[/b]な関数だという。[br]Dの各点ｚの微分係数[b]f'(z)[/b]をｆの[b]導関数[/b]という。[br][br]・微分演算と和差積商についは、実関数と同じ法則が成り立つ。[br](f±g)'=f’±g'、(fg)'=f'g+fg', (f/g)'=(f'g-fg')/g[sup]2[/sup] [br][color=#0000ff]（例）[br][/color] [b]w=z[sup]2[/sup]は微分可能[/b]。⊿z→0とするとき、[br][b]⊿w/⊿z[/b]={(z+⊿z)[sup]2[/sup]-z[sup]2[/sup]}/⊿z=2z + ⊿z→ [b]2z[/b][br]zが1+i付近ではwは(1+i)[sup]2[/sup]=2iに近づくね。近づき方がちがうと、近づいた経路の曲線のz=1+i付近での[br]接線の傾き⊿y/⊿xは異なるね。[br]しかし、z=1+iの微分係数は2(1+i)だから、近づき方によらず同じ2+2iくらいになるはずだ。[br]くわしくみてみよう。[br]aを0から0.1に増やすとき、[br]・ｘ軸と平行な点z=1+a+iなら、⊿y/⊿x=0で、 [br]　⊿w/⊿z={(1.1+i)[sup]2[/sup]-(1+i)[sup]2[/sup]}[sup][/sup]/0.1=2.1+2i ≒ 2+2 i[br]・ｙ軸と平行な点z=1+i (1+a) なら、⊿y/⊿x＝無限大で、[br]　⊿w/⊿z={(1+ 1.1 i)[sup]2[/sup]-(1+i )[sup]2[/sup]}[sup][/sup]/(0.1 i) = 2 +2.1i ≒ 2+2 i[br]・点z=1+a+i(1+ a)なら、⊿y/⊿x＝1で、[br]　⊿w/⊿z={(1.1+1.1i)[sup]2[/sup]-(1+i)[sup]2[/sup]}[sup][/sup]/(0.1+0.1i)= 0.42i//(0.1+0.1i)= 4.2i/(1+i)=2.1+2.1i ≒ 2+2 i[br][color=#0000ff]このように、ｚ平面での近づく傾き⊿y/⊿x=0を変えても、平面間の増分比、微分係数⊿w/⊿zは一定だ。[br]1+iは複素数としては45度の左回転だから、ｚ平面のｚ＝1+iの付近の動きがｗで45度左回転して2倍した[br]動きになるということだね。[br]一般化すると、ｚ平面の各点ｚの付近の動きがw=f(z)=z[sup]2[/sup]によって、ｗ平面では点はz2に移り、動きは2zになるということだ。[br][br]（例）[br][/color] w=[b]z[sup]n[/sup][/b]は微分可能。⊿z→0とするとき、[br]⊿w/⊿z={(z+⊿z)[sup]n[/sup]-z[sup]n[/sup]}/⊿z=nC1z[sup]n-1[/sup]+nC2z[sup]n-2[/sup][b]⊿z+.......[/b]→ [b]nz[/b][sup][b]n-1[/b][color=#0000ff][br][/color][/sup][color=#0000ff]（例）[br][/color] [b]w=2x+y i は微分不可能。[br][/b]⊿w/⊿z={2(x+⊿x)+(y+⊿y)i- (2x+yi)}/(⊿x+⊿yi)=(2⊿x+⊿yi)/(⊿x+⊿yi)[br][sup][/sup]⊿x=0,⊿y→0のとき、⊿w/⊿z＝(⊿yi)/(⊿yi)→1[br]⊿x→0,⊿y=0のとき、⊿w/⊿z＝(2⊿x)/(⊿x)→2[br]くわしくみてみよう。[br]aを0から0.1に増やすとき、[br]・ｘ軸と平行な点z=(1+a)+iなら、⊿y/⊿x=0で、 ⊿w/⊿z={2(1.2+i)-(2*1+i)}[sup][/sup]/0.2=2[br] u=2xなので、⊿w/⊿z=⊿u/⊿x=2で、ｚ平面の2倍大きく変動する。[br]・ｙ軸と平行な点z=1+i (1+a) なら、⊿y/⊿x＝無限大で、⊿w/⊿z={(1+1.1 i )-(1+1i )/(0.1 i) = 1[br]　v=yなので、⊿w/⊿z=⊿v/⊿y=1で、ｚ平面と同じ割合で変動する。[br]・点z=1+a+i(1+ a)なら、⊿y/⊿x＝1で、[br]　⊿w/⊿z={(2*1.1+1.1i)-(2*1+i)}[sup][/sup]/(0.1+0.1i)= (2*0.1+0.1i)/(0.1+0.1i)= (2+i)/(1+i)=(2+i)(1-i)/2=2-0.5i[br]　u=2x、v=yなので、ｗ平面はｚ平面よりも横軸だけ2倍大きく変動し、たて軸は同じ割合で変動。

[b][color=#0000ff]C-R-Eというのはコーシー・リーマンの方程式の略名だ。[br][/color][/b]これは領域Dの各点で微分係数が１つになることから導かれる。[br]つまり、微分可能の目印、導関数の存在条件になっている。[b][size=150]正則関数[/size][/b]である条件ともいえる。[br][br]この等式がすばらしいのは、[br]存在の保証だけではなく、[b][color=#0000ff]導関数を計算する道具でもある[/color][/b]ことだ。[br]一石二鳥とはこのことだね。[br][br][b][size=150]＜コーシー・リーマンの方程式を出そう＞[br][/size][/b]・CRE条件は、[b][size=150]領域Dのz=x+iy[/size][/b] に対して[br]関数[b][size=150][color=#0000ff][size=200]w=f(z)=U(x,y) + i V(x,y) [/size][/color][/size][/b]のU,Vが連続な偏導関数を持つとき、[br]fが正則関数であることは、[b][size=150][size=200][color=#0000ff]Ux=Vy and Uy=-Vx[/color][br][/size][/size][/b]が必要十分。[br]・このとき、正則関数fの導関数f'は[b][size=150][color=#0000ff]Ux+i Vx[/color][/size][/b]でも、Vy-iUyでも求められる。[br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]⊿y/⊿x＝mをいろいろ変えても⊿w/⊿vが同じ定数になる必要がある。[br][b]⊿w/⊿v[/b]={f(z+⊿z)-f(z)}/⊿v[br]=[{U(x+⊿x,y+⊿y)+i V(x+⊿x,y+⊿y)}-{U(x,y)+iV(x,y)}]/(⊿x+i ⊿y)[br]=[{U(x+⊿x,y+⊿y)- U(x,y)}+ i {V(x+⊿x,y+⊿y)-iV(x,y)}]/(⊿x+i ⊿y) (全微分できる）[br]=[{[b]Ux⊿x[/b]+Uy⊿y+εu}+ i {[b]Vx⊿x[/b]+Vy⊿y+εv}]/(⊿x+i ⊿y)[br]→[{[b]Ux[/b]+Uy [color=#0000ff][b]m[/b][/color]}+ i {[b]Vx[/b]+Vy [b][color=#0000ff]m[/color][/b]}]/(1+i [color=#0000ff][b]m[/b][/color]) (⊿x,⊿y->0ならεu,εv->0,⊿y/⊿x＝m )[br]=[(Uy +i Vy)[color=#0000ff] [b]m[/b][/color]+ ([b]Ux+i Vx[/b])]/(i [color=#0000ff][b]m[/b][/color]+1)[br]一次分数関数がmにかかわらず一定になる必要十分条件は、[br](am+b)/(cm+d)のad-bc=0だから、[br] (Uy +i Vy) 1 - (Ux+i Vx) i = 0より、(Uy+Vx) + i (Vy-Ux) = 0。言い換えると、[br][b]Ux=Vy and Uy=-Vx[br][/b]・どんなｍでも⊿w/⊿vは求められるので、ｍ＝０とする。[br][b]⊿w/⊿v=[(Uy +i Vy) 0+ (Ux+i Vx)]/(i 0+1)=Ux+i Vx[br][/b][color=#0000ff]（例）[/color][br]w=f(z)=z[sup]2[/sup]=(x+iy)[sup]2[/sup]=(x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup])+i 2xy [br]U=(x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]), V=2xy[br]CREから[br]Ux＝2x=Vy,Vx＝2y=-Uyだから、fは正則関数で、f'=2x+i 2y=2z。[br][b][size=150]・正則関数の和差積商も正則関数だ。[br][/size][/b][color=#0000ff]（理由）[/color][br]ｆ、ｇが正則関数ならば、領域Dの点ｚでの⊿ｗ/⊿ｖの極限値、微分係数Cf,Cgが存在するはずだ。[br]それは各点ｚごとに定数だから、その和差積商も定数になる。[br]だから、正則関数の和差積商も正則関数になることがわかるね。

[b][size=150]＜べき＞[/size][/b][br]CREをまつまでもなく、[b][size=150][color=#0000ff](z[sup]n[/sup])'=nz[sup]n-1[/sup][/color][/size][sup][/sup][/b]であることは、上記の１の例から明らかだ。[br][b][size=150]＜指数＞[/size][/b][br]w=f(z)=e[sup]z[/sup]=e[sup]x+iy[/sup]=e[sup]x[/sup]e[sup]yi[/sup]=e[sup]x[/sup](cos y + i sin y)とすると、U=Re(w)=e[sup]x[/sup]cosy, V=Im(w)=e[sup]x[/sup]siny[br]積の微分公式から[br]Ux=(e[sup]x[/sup])'cosy+e[sup]x[/sup](cosy)'=e[sup]x[/sup]cosy -e[sup]x [/sup]0 = e[sup]x[/sup]cos y[br]Vy=(e[sup]x[/sup])'sin y+e[sup]x[/sup](siny)'=0 cosy +e[sup]x [/sup]cos y=e[sup]x [/sup]cos y [br]Vx=(e[sup]x[/sup])'sin y+e[sup]x[/sup](siny)'=e[sup]x [/sup]siny +e[sup]x [/sup]0=e[sup]x [/sup]sin y [br]Uy=(e[sup]x[/sup])'cosy+e[sup]x[/sup](cosy)'=0 cosy -e[sup]x [/sup]siny =-e[sup]x [/sup]siny[br]Ux=Vy,Uy=-Uxとなるから、CREからfは正則関数。[br]f'=Ux+i Vx=e[sup]x[/sup]cos y+i e[sup]x [/sup]sin y =f [br]f'=fとなるから、[b][size=150][color=#0000ff](e[sup]z[/sup])'=e[sup]z[/sup][/color][/size][sup][/sup][/b][br][b][size=150]＜対数＞[br][/size][/b]z=(r；θ)=x+iy=e[sup]w[/sup]のときに、ｗ＝logz=u+ivとしよう。定義域はｚ≠０の領域。[br]r =|z|=sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) , tan(θ+2nπ)=y/xから、θ+2nπ=tan[sup]-1[/sup]y/x[br]z=e[sup]w[/sup]＝e[sup]u[/sup]e[sup]iv[/sup]=re[sup]iθ[/sup]から、r=e[sup]u[/sup], v=θ+2nπ(nは整数）実対数関数を使ってu=Logrとなるから、[br][color=#0000ff]w=logz=(Logr , θ+2nπ)=Log|z|+ i (θ+2nπ)=Log |z|+ i argz= Log sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+i tan[sup]-1[/sup]y/x=U+i V[/color][br]U=Log sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]), V=tan[sup]-1[/sup]y/x[br]微分の連鎖法則から、[br]Ux=1/ (x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]1/2[/sup]*1/2*(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]-1/2[/sup] *2x=x/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[br]Vy=(tan[sup]-1[/sup]y/x)' =1/(1+(y/x)[sup]2[/sup])*1/x=x/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[br]Vx=(tan[sup]-1[/sup]y/x)'= 1/(1+(y/x)[sup]2[/sup])*(-y)/x[sup]2[/sup]=-y/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[br]Uy=1/ (x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]1/2[/sup]*1/2*(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]-1/2[/sup] *2y=y/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[br]Ux=Vy,Uy=-Uxとなるから、CREからfは正則関数。[br]f'=Ux+i Vx=x/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) - i y/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) =1/|z| z* = 1/z[br][b][size=150][color=#0000ff](log z)'=1/z[/color][/size][/b]となるね。

[b][size=150]＜三角＞[/size][/b][br]積の微分、合成関数の微分、商の微分、微分の連鎖の公式が複素関数でも成り立つとする。[br]cos z=(e[sup]iz[/sup] + e[sup]-iz[/sup])/2、sin z=(e[sup]iz[/sup] - e[sup]-iz[/sup])/2i、tan z=sin z/ cos z を複素三角関数と定めるとき、[br]e[sup]z[/sup]はe[sup]x+iy[/sup]=e[sup]x[/sup]e[sup]iy[/sup]=e[sup]x[/sup](cosy+icosy)だから、ｚが2πi（虚軸の2π）増えるとyが2π増えて同じになる周期関数で正則関数。e[sup]iz[/sup]はｚが2πiのi倍ふえると同じになるから、2πが周期の正則関数。[br]だから、複素三角関数は正則関数の合成だから、正則関数になるね。[br][br]・(cos z)'=[(e[sup]iz[/sup] + e[sup]-iz[/sup])/2]'=[(e[sup]iz[/sup] )'+ (e[sup]-iz[/sup])']/2 =[ie[sup]iz[/sup] -ie[sup]-iz[/sup]]/2=-sinz[br]・(sin z)'=[(e[sup]iz[/sup] - e[sup]-iz[/sup])/2i]'=[(e[sup]iz[/sup] )'- (e[sup]-iz[/sup])']/2i =[ie[sup]iz[/sup] +ie[sup]-iz[/sup]]/2i=cosz[br]ちなみに、cos[sup]2[/sup]z+sin[sup]2[/sup]z=[(e[sup]iz[/sup] + e[sup]-iz[/sup])/2][sup]2[/sup]+[(e[sup]iz[/sup] - e[sup]-iz[/sup])/2i][sup]2[/sup]=[2(e[sup]iz[/sup] )(e[sup]-iz[/sup])+2(e[sup]iz[/sup] )(e[sup]-iz[/sup])]/4=4/4=1[br][br][b][size=150]＜双曲線＞[br][/size][/b]cosh z=(e[sup]z[/sup] + e[sup]-z[/sup])/2、sinh z=(e[sup]z[/sup] - e[sup]-z[/sup])/2と複素双曲線関数を定めるとき、[br]上記の理由で、正則関数になる。[br][br]・(cosh z)'=[(e[sup]z[/sup] + e[sup]-z[/sup])/2]'=[(e[sup]z[/sup] )'+ (e[sup]-z[/sup])']/2 =(e[sup]z[/sup] -e[sup]-z[/sup])/2=sinh z[br]・(sinh z)'=[(e[sup]z[/sup] - e[sup]-z[/sup])/2]'=[(e[sup]z[/sup] )'- (e[sup]-z[/sup])']/2 =(e[sup]z[/sup] +e[sup]-z[/sup])/2=cosh z[br]ちなみに、cosh[sup]2[/sup]z-sinh[sup]2[/sup]z=[(e[sup]z[/sup] + e[sup]-z[/sup])/2][sup]2[/sup]-[(e[sup]z[/sup] - e[sup]-z[/sup])/2][sup]2[/sup]=[2(e[sup]z[/sup] )(e[sup]-z[/sup])+2(e[sup]z[/sup] )(e[sup]-z[/sup])]/4=4/4=1